Câu hỏi của Toàn Lê

Question

$\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}+\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}=\sqrt{A+\sqrt{B}}$CMR: Cho A>0,B>0Các bạn giúp mình nhé

Hoàng Lê Bảo Ngọc · Accepted Answer

Bạn xem lại đề bài nhé :)Nhận xét : Với $x\ge0$, ta có $x=\sqrt{x^2}$Đặt $x=\sqrt{A-\sqrt{B}}+\sqrt{A+\sqrt{B}}$, ta có $x\ge0$, từ nhận xét suy ra $x=\sqrt{x^2}$Ta có : $x^2=2A+2\sqrt{A^2-B}=4\left(\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}\right)$$\Rightarrow x=2\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}$(1). Tương tự, đặt $y=\sqrt{A+\sqrt{B}}-\sqrt{A-\sqrt{B}}$.Xét : $A+\sqrt{B}-\left(A-\sqrt{B}\right)=2\sqrt{B}>0\Leftrightarrow A+\sqrt{B}>A-\sqrt{B}$$\Leftrightarrow\sqrt{A+\sqrt{B}}>\sqrt{A-\sqrt{B}}\Rightarrow y>0$. Áp dụng nhận xét, ta cũng có $y=\sqrt{y^2}$Ta có : $y=\sqrt{A+\sqrt{B}}-\sqrt{A-\sqrt{B}}\Leftrightarrow y=2A-2\sqrt{A^2-B}=4\left(\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}\right)$$\Rightarrow y=2\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$ (2)Cộng (1) và (2) theo vế : $x+y=2\left(\sqrt{\frac{A^2+\sqrt{B}}{2}}+\sqrt{\frac{A^2-\sqrt{B}}{2}}\right)$$2\sqrt{A+\sqrt{B}}=2\left(\sqrt{\frac{A^2+\sqrt{B}}{2}}+\sqrt{\frac{A^2-\sqrt{B}}{2}}\right)$$\Leftrightarrow\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A^2+\sqrt{B}}{2}}+\sqrt{\frac{A^2-\sqrt{B}}{2}}$(đpcm)Câu trả lời: Bạn xem lại đề bài nhé :)Nhận xét : Với $x\ge0$, ta có $x=\sqrt{x^2}$Đặt $x=\sqrt{A-\sqrt{B}}+\sqrt{A+\sqrt{B}}$, ta có $x\ge0$, từ nhận xét suy ra $x=\sqrt{x^2}$Ta có : $x^2=2A+2\sqrt{A^2-B}=4\left(\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}\right)$$\Rightarrow x=2\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}$(1). Tương tự, đặt $y=\sqrt{A+\sqrt{B}}-\sqrt{A-\sqrt{B}}$.Xét : $A+\sqrt{B}-\left(A-\sqrt{B}\right)=2\sqrt{B}>0\Leftrightarrow A+\sqrt{B}>A-\sqrt{B}$$\Leftrightarrow\sqrt{A+\sqrt{B}}>\sqrt{A-\sqrt{B}}\Rightarrow y>0$. Áp dụng nhận xét, ta cũng có $y=\sqrt{y^2}$Ta có : $y=\sqrt{A+\sqrt{B}}-\sqrt{A-\sqrt{B}}\Leftrightarrow y=2A-2\sqrt{A^2-B}=4\left(\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}\right)$$\Rightarrow y=2\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$ (2)Cộng (1) và (2) theo vế : $x+y=2\left(\sqrt{\frac{A^2+\sqrt{B}}{2}}+\sqrt{\frac{A^2-\sqrt{B}}{2}}\right)$$2\sqrt{A+\sqrt{B}}=2\left(\sqrt{\frac{A^2+\sqrt{B}}{2}}+\sqrt{\frac{A^2-\sqrt{B}}{2}}\right)$$\Leftrightarrow\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A^2+\sqrt{B}}{2}}+\sqrt{\frac{A^2-\sqrt{B}}{2}}$(đpcm)

Phùng Quân Nam · Answer

ta thấy A + phân A thì sẽ tự làmCâu trả lời: ta thấy A + phân A thì sẽ tự làm

Thiên An · Answer

Mình nghĩ bạn chép sai đề rồi, mình sửa lại nhé $\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}+\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}=\sqrt{A+\sqrt{B}}$Bình phương vế trái ta có: $\left(\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}+\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}\right)^2$$=\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}+\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}+2\sqrt{\frac{\left(A+\sqrt{A^2-B}\right)\left(A-\sqrt{A^2-B}\right)}{4}}$$=\frac{2A+\sqrt{A^2-B}-\sqrt{A^2-B}}{2}+2\sqrt{\frac{A^2-\left(A^2-B\right)}{4}}$$=A+2\sqrt{\frac{B}{4}}=A+\sqrt{4.\frac{B}{4}}=A+\sqrt{B}.$Do $A>0,B>0$nên ta suy ra $\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}+\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}=\sqrt{A+\sqrt{B}}$(đpcm).Câu trả lời: Mình nghĩ bạn chép sai đề rồi, mình sửa lại nhé $\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}+\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}=\sqrt{A+\sqrt{B}}$Bình phương vế trái ta có: $\left(\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}+\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}\right)^2$$=\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}+\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}+2\sqrt{\frac{\left(A+\sqrt{A^2-B}\right)\left(A-\sqrt{A^2-B}\right)}{4}}$$=\frac{2A+\sqrt{A^2-B}-\sqrt{A^2-B}}{2}+2\sqrt{\frac{A^2-\left(A^2-B\right)}{4}}$$=A+2\sqrt{\frac{B}{4}}=A+\sqrt{4.\frac{B}{4}}=A+\sqrt{B}.$Do $A>0,B>0$nên ta suy ra $\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}+\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}=\sqrt{A+\sqrt{B}}$(đpcm).

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)