Question

S = 1. 3. 5 + 3. 5. 7 + 5. 7 .9 + ... + n. ( n + 2 ). ( n + 4 )

Answer 1

\(S=1.3.5+3.5.7+...+n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\)

\(8S=1.3.5.8+3.5.7.8+...+n\left(n+2\right)\left(n+4\right).8\)

\(8S=1.3.5.\left(7+1\right)+3.5.7.\left(9-1\right)+5.7.9.\left(11-3\right)+...+n\left(n+2\right)\left(n+4\right).\left[\left(n+6\right)-\left(n-2\right)\right]\)

\(8S=1.3.5+1.3.5.7-1.3.5.7+5.7.9.11-3.5.7.9+...+n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\left(n+6\right)-\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\)

\(8S=1.3.5+n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\left(n+6\right)\)

\(S=\dfrac{1.3.5+n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\left(n+6\right)}{8}\)