Câu hỏi của Thắng Nguyễn

Question

Proving that if $xy+yz+zx\ge\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$,then $x+y+z\ge\sqrt{3}$

Phước Nguyễn · Accepted Answer

Dùng phương pháp biến đổi tương đương, ta dễ dàng chứng minh được:$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz$ với mọi số thực  $x,y,z$Ta có:$xy+yz+xz\ge\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$nên suy ra được   $x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$  $\left(i\right)$Giả sử tồn tại số thực  $t$ nào đó sao cho thỏa mãn  $t^2=x^2+y^2+z^2$  $\Rightarrow$  $t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$Khi đó, bđt  $\left(i\right)$  được biểu diễn lại dưới dạng ẩn số  $t$  như sau:$\left(i\right)$  $\Rightarrow$  $t\ge\frac{1}{\sqrt{t}}$  $\Leftrightarrow$  $t\sqrt{t}\ge1$ $\Leftrightarrow$  $\sqrt{t^3}\ge1$  $\Leftrightarrow$  $t^3\ge1$  $\Leftrightarrow$  $t\ge1$  $\left(ii\right)$$------------$Bên cạnh đó, ta lại có:$\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge x^2+y^2+z^2+\frac{2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$nên  $\left(x+y+z\right)^2\ge t^2+\frac{2}{t}$Giả sử tồn tại một số  $y$nào đó thỏa mãn  $t^2+\frac{2}{t}\ge y$  (với  $y\in R$  )$\Rightarrow$  $\left(x+y+z\right)^2\ge y$Mặt khác, từ  $\left(ii\right)$  ta suy ra được $\hept{\begin{cases}t^2\ge1\t-1\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}$  $\hept{\begin{cases}t^2\ge1\2t-2\ge0\end{cases}}$Lúc đó, ta thiết lập được một bđt mới sau:$t^2+2t+\frac{2}{t}-2\ge y$Mà  $t^2\ge1$  và  $2t+\frac{2}{t}\ge2\sqrt{2t.\frac{2}{t}}=4$  (bđt Cauchy loại hai cho bộ số gồm hai số không âm)$\Rightarrow$  $t^2+2t+\frac{2}{t}-2\ge1+4-2=3$Ta dễ dàng suy ra được  $y=3$Do đó,  $\left(x+y+z\right)^2\ge3$  hay nói cách khác,  $x+y+z\ge\sqrt{3}$  (đpcm)Dấu  $"="$  xảy ra khi và chỉ khi  $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$Câu trả lời: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, ta dễ dàng chứng minh được:$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz$ với mọi số thực  $x,y,z$Ta có:$xy+yz+xz\ge\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$nên suy ra được   $x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$  $\left(i\right)$Giả sử tồn tại số thực  $t$ nào đó sao cho thỏa mãn  $t^2=x^2+y^2+z^2$  $\Rightarrow$  $t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$Khi đó, bđt  $\left(i\right)$  được biểu diễn lại dưới dạng ẩn số  $t$  như sau:$\left(i\right)$  $\Rightarrow$  $t\ge\frac{1}{\sqrt{t}}$  $\Leftrightarrow$  $t\sqrt{t}\ge1$ $\Leftrightarrow$  $\sqrt{t^3}\ge1$  $\Leftrightarrow$  $t^3\ge1$  $\Leftrightarrow$  $t\ge1$  $\left(ii\right)$$------------$Bên cạnh đó, ta lại có:$\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\ge x^2+y^2+z^2+\frac{2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$nên  $\left(x+y+z\right)^2\ge t^2+\frac{2}{t}$Giả sử tồn tại một số  $y$nào đó thỏa mãn  $t^2+\frac{2}{t}\ge y$  (với  $y\in R$  )$\Rightarrow$  $\left(x+y+z\right)^2\ge y$Mặt khác, từ  $\left(ii\right)$  ta suy ra được $\hept{\begin{cases}t^2\ge1\t-1\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}$  $\hept{\begin{cases}t^2\ge1\2t-2\ge0\end{cases}}$Lúc đó, ta thiết lập được một bđt mới sau:$t^2+2t+\frac{2}{t}-2\ge y$Mà  $t^2\ge1$  và  $2t+\frac{2}{t}\ge2\sqrt{2t.\frac{2}{t}}=4$  (bđt Cauchy loại hai cho bộ số gồm hai số không âm)$\Rightarrow$  $t^2+2t+\frac{2}{t}-2\ge1+4-2=3$Ta dễ dàng suy ra được  $y=3$Do đó,  $\left(x+y+z\right)^2\ge3$  hay nói cách khác,  $x+y+z\ge\sqrt{3}$  (đpcm)Dấu  $"="$  xảy ra khi và chỉ khi  $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Phước Nguyễn · Answer

$\left(i\right)\Rightarrow$  $t^2\ge\frac{1}{t}$  $\Leftrightarrow$  $t^3\ge1$  $\Leftrightarrow$  $t\ge1$  $\left(ii\right)$Câu trả lời: $\left(i\right)\Rightarrow$  $t^2\ge\frac{1}{t}$  $\Leftrightarrow$  $t^3\ge1$  $\Leftrightarrow$  $t\ge1$  $\left(ii\right)$

Mr Lazy · Answer

$\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)$$\ge x^2+y^2+z^2+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$\ge3\sqrt[3]{\left(x^2+y^2+z^2\right).\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}=3$$\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z\le-\sqrt{3}\x+y+z\ge\sqrt{3}\end{cases}}$Kết quả này có vẻ hợp lý hơn, vì nếu thay $\left(x;y;z\right)\rightarrow\left(-x;-y;-z\right)$ thì điều kiện vẫn ko thay đổi, nhưng kết quả thì đổi chiều và đổi dấu.Câu trả lời: $\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)$$\ge x^2+y^2+z^2+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$\ge3\sqrt[3]{\left(x^2+y^2+z^2\right).\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}=3$$\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z\le-\sqrt{3}\x+y+z\ge\sqrt{3}\end{cases}}$Kết quả này có vẻ hợp lý hơn, vì nếu thay $\left(x;y;z\right)\rightarrow\left(-x;-y;-z\right)$ thì điều kiện vẫn ko thay đổi, nhưng kết quả thì đổi chiều và đổi dấu.

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)