\(a^3\left(b^2-c^2\right)+b^3\left(c^2-a^2\right)+c^3\left(a^2-b^2\right)\)
\(=a^3b^2-a^3c^2+c^3a^2-c^3b^2+b^3\left(c^2-a^2\right)\)
\(=\left(a^3b^2-c^3b^2\right)-\left(a^3c^2-c^3a^2\right)+b^3\left(c^2-a^2\right)\)
\(=b^2\left(a^3-c^3\right)-a^2c^2\left(a-c\right)+b^3\left(c-a\right)\left(c+a\right)\)
\(=b^2\left(a-c\right)\left(a^2+ac+c^2\right)-a^2c^2\left(a-c\right)-b^3\left(a-c\right)\left(c+a\right)\)
\(=\left(a-c\right)\left[b^2\left(a^2+ac+c^2\right)-a^2c^2-b^3\left(c+a\right)\right]\)
\(=\left(a-c\right)\left(b^2a^2+acb^2+c^2b^2-a^2c^2-b^3c-ab^3\right)\)
\(=\left(a-c\right)\left[\left(b^2a^2-a^2c^2\right)+\left(acb^2-ab^3\right)+\left(c^2b^2-b^3c\right)\right]\)
\(=\left(a-c\right)\left[a^2\left(b^2-c^2\right)+ab^2\left(c-b\right)+cb^2\left(c-b\right)\right]\)
\(=\left(a-c\right)\left[a^2\left(b-c\right)\left(b+c\right)-ab^2\left(b-c\right)-cb^2\left(b-c\right)\right]\)
\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left[a^2\left(b+c\right)-ab^2-cb^2\right]\)
\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a^2b+a^2c-ab^2-cb^2\right)\)
\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left[\left(a^2b-ab^2\right)+\left(a^2c-cb^2\right)\right]\)
\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left[ab\left(a-b\right)+c\left(a^2-b^2\right)\right]\)
\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left[ab\left(a-b\right)+c\left(a-b\right)\left(a+b\right)\right]\)
\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left[ab+c\left(a+b\right)\right]\)
\(=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(ab+ac+bc\right)\)
