Điều này còn phụ thuộc vào giá trị của n nữa
Nếu n là số tự nhiên thì do n>n-1 và n+3<n+4 nên \(\frac{n}{n+3}>\frac{n-1}{n+4}\)
Tính:
\(\frac{n}{n + 3} - \frac{n - 1}{n + 4} = ?\)
Bước 1: Quy đồng mẫu số\(= \frac{n \left(\right. n + 4 \left.\right) - \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 3 \left.\right)}{\left(\right. n + 3 \left.\right) \left(\right. n + 4 \left.\right)}\)
Bước 2: Phân tích tử số\(n \left(\right. n + 4 \left.\right) - \left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 3 \left.\right) = n^{2} + 4 n - \left(\right. n^{2} + 3 n - n - 3 \left.\right) = n^{2} + 4 n - \left(\right. n^{2} + 2 n - 3 \left.\right)\)\(= n^{2} + 4 n - n^{2} - 2 n + 3 = 2 n + 3\)
Bước 3: Kết luậnHiệu hai phân số là:
\(\frac{2 n + 3}{\left(\right. n + 3 \left.\right) \left(\right. n + 4 \left.\right)}\)
Bước 4: Xét dấu của hiệuMẫu số: \(\left(\right. n + 3 \left.\right) \left(\right. n + 4 \left.\right)\)Nếu \(n > - 3\), cả \(\left(\right. n + 3 \left.\right)\) và \(\left(\right. n + 4 \left.\right)\) đều dương ⇒ mẫu dương.Nếu \(n < - 4\), cả hai âm ⇒ mẫu dương (âm × âm = dương).Nếu \(- 4 < n < - 3\), mẫu âm (dương × âm).Tử số: \(2 n + 3\)\(2 n + 3 > 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longleftrightarrow \textrm{ }\textrm{ } n > - \frac{3}{2}\)Bảng xét dấu hiệu:Khoảng \(n\)nn | Dấu tử số \(2 n + 3\)2n+32n+3 | Dấu mẫu số \(\left(\right. n + 3 \left.\right) \left(\right. n + 4 \left.\right)\)(n+3)(n+4)(n+3)(n+4) | Dấu hiệu tổng thể |
|---|---|---|---|
\(n < - 4\)n<−4n<−4 | \(2 n + 3 < 0\)2n+3<02n+3<0 | \(> 0\)>0>0 | \(< 0\)<0<0 |
\(- 4 < n < - 3\)−4<n<−3−4<n<−3 | \(2 n + 3 < 0\)2n+3<02n+3<0 | \(< 0\)<0<0 | \(> 0\)>0>0 |
\(- 3 < n < - \frac{3}{2}\)−3<n<−32−3<n<−23 | \(2 n + 3 < 0\)2n+3<02n+3<0 | \(> 0\)>0>0 | \(< 0\)<0<0 |
\(n > - \frac{3}{2}\)n>−32n>−23 | \(2 n + 3 > 0\)2n+3>02n+3>0 | \(> 0\)>0>0 | \(> 0\)>0>0 |
\(\frac{n}{n + 3} > \frac{n - 1}{n + 4}\)
Khi \(n \in \left(\right. - \infty , - 4 \left.\right)\) hoặc \(n \in \left(\right. - 3 , - \frac{3}{2} \left.\right)\), hiệu âm ⇒\(\frac{n}{n + 3} < \frac{n - 1}{n + 4}\)
