Các câu hỏi tương tự
📷Tập hợp Mandelbrot, đặt tên theo người đã khám phá ra nó, là một ví dụ nổi tiếng về phân dạng📷Mandelbrot năm 2007📷Xây dựng một bông tuyết Koch cơ bản từ tam giác đềuMột phân dạng (còn được biết đến là fractal) là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy phân dạng có vô tận các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở c...
Đọc tiếp
📷Tập hợp Mandelbrot, đặt tên theo người đã khám phá ra nó, là một ví dụ nổi tiếng về phân dạng📷Mandelbrot năm 2007📷Xây dựng một bông tuyết Koch cơ bản từ tam giác đều
Một phân dạng (còn được biết đến là fractal) là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy phân dạng có vô tận các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở các tỷ lệ phóng đại khác nhau. Nhiều trường hợp, có thể tạo ra phân dạng bằng việc lặp lại một mẫu toán học, theo phép hồi quy. Từ fractal được nói đến lần đầu vào năm 1975 bởi Benoît Mandelbrot, lấy từ tiếng Latin fractus nghĩa là "đứt gãy". Trước đó, các cấu trúc này (ví dụ bông tuyết Koch) được gọi là "đường cong quỷ".
Phân dạng ban đầu được nghiên cứu như một vật thể toán học. Hình học phân dạng là ngành toán học chuyên nghiên cứu các tính chất của phân dạng; những tính chất không dễ gì giải thích được bằng hình học thông thường. Ngành này có ứng dụng trong khoa học, công nghệ, và nghệ thuật tạo từ máy tính. Ý niệm cơ bản của môn này là xây dựng phép đo đạc mới về kích thước của vật thể, do các phép đo thông thường của hình học Euclid và giải tích thất bại khi mô tả các phân dạng.
Mục lục
1Định nghĩa
2Lịch sử
3Tập hợp Mandelbrot
4Ví dụ
4.1Phân dạng tạo từ hình toán học
4.2Vật thể tự nhiên có cấu trúc phân dạng
5Ứng dụng
5.1Khoa học máy tính
5.2Y học và sinh học
5.3Hóa học
5.4Vật lý
5.5Thiên văn học
5.6Kinh tế
6Chú thích
7Tham khảo
8Liên kết ngoài
Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]
📷
Việc định nghĩa các đặc tính của phân dạng, có vẻ dễ dàng với trực quan, lại cực kỳ khó với đòi hỏi chính xác và cô đọng của toán học.
Mandelbrot đã định nghĩa phân dạng là "một tập hợp mà trong đó số chiều Hausdorff (hay chiều Hausdorff-Besicovitch) lớn hơn chiều tô pô học". Số chiều Hausdorff là khái niệm sinh ra để đo kích thước của phân dạng, thường không phải là một số tự nhiên. Một hình vẽ phân dạng trên tờ giấy 2 chiều có thể bắt đầu có những tính chất của vật thể trong không gian 3 chiều, và có thể có chiều Hausdorff nằm giữa 2 và 3. Đối với một phân dạng hoàn toàn tự đồng dạng, chiều Hausdorff sẽ đúng bằng chiều Minkowski-Bouligand.
Xem thêm: Số chiều Hausdorff
Các vấn đề liên quan đến định nghĩa phân dạng gồm:
Không có ý nghĩa chính xác của "gấp khúc".
Không có định nghĩa duy nhất của "chiều".
Có nhiều cách mà một vật thể có thể tự đồng dạng.
Không phải tất cả mọi phân dạng đều tìm được bằng phép đệ quy.
Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]
Các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu các hình tự đồng dạng tự thế kỷ 17, khi Gottfried Leibniz xem xét các đường gấp khúc và định nghĩa đường thằng là đường phân dạng chuẩn: "các đường thẳng là đường cong, bất kỳ phần nào của nó cũng tương tự với toàn bộ".
Năm 1872, nhà toán học người Đức Karl Weierstrass đưa ra mô hình về một hàm liên tục nhưng không đâu khả vi
📷Bông tuyết Koch
Năm 1904, nhà toán học Thụy Điển Helge von Koch trong một bài "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" đã nghiên cứu các tính chất của phân dạng tạo thành bắt đầu từ các đa giác đơn lồi phẳng, mà cụ thể là tam giác, có hình dạng na ná rìa của các bông tuyết và được gọi là bông tuyết Koch (Koch snowflake)
Tập hợp Mandelbrot[sửa | sửa mã nguồn]
Bài chi tiết: Tập hợp Mandelbrot📷Hình ảnh đầu tiên của tập Mandelbrot (trên mặt phẳng phức) trong dãy phóng đại với môi trường được tô màu liên tục (các điểm màu đen thuộc về tập này).
Tập Mandelbrot là một tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức, với biên của nó có dạng fractal. Tập Mandelbrot là tập các giá trị của số phức c với quỹ đạo bắt đầu từ 0 dưới phép lặp của đa thức bậc hai hệ số phức zn+1 = zn2 + c vẫn bị chặn (đóng trong biên).[1] Có nghĩa là, một số phức c thuộc về tập Mandelbrot, khi bắt đầu với z0 = 0 và áp dụng phép lặp lại, thì giá trị tuyệt đối của zn không bao giờ vượt quá một số xác định (số này phụ thuộc vào c) cho dù n lớn như thế nào. Tập Mandelbrot được đặt tên theo nhà toán học Benoît Mandelbrot, người đầu tiên đã nghiên cứu và phát triển nó.
Ví dụ, lấy c = 1 thì khi áp dụng chuỗi lặp ta thu được dãy số 0, 1, 2, 5, 26,…, và dãy này tiến tới vô cùng. Hay dãy này không bị chặn, và do vậy 1 không phải là phần tử của tập Mandelbrot.
Ví dụ khác, lấy c = i (trong đó i được định nghĩa là i2 = −1) sẽ cho dãy 0, i, (−1 + i), −i, (−1 + i), −i,..., và dãy này bị chặn nên ithuộc về tập Mandelbrot.
Khi tính toán và vẽ trên mặt phẳng phức, tập Mandelbrot có hình dạng ở biên giống như một fractal, nó có tính chất tự đồng dạng khi phóng đại tại bất kì vị trí nào trên biên của tập hợp.
Tập Mandelbrot đã trở thành phổ biến ở cả bên ngoài toán học, từ vẻ đẹp thẩm mỹ cho tới cấu trúc phức tạp được xuất phát từ định nghĩa đơn giản, và nó cũng là một trong những ví dụ nổi tiếng của đồ họa toán học. Nhiều nhà toán học, bao gồm Mandelbrot, đã phổ biến lĩnh vực toán học này ra công chúng. Đây là một trong những tập hợp phân dạng nổi tiếng nhất.
Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]
Phân dạng tạo từ hình toán học[sửa | sửa mã nguồn]
📷Một phân dạng Mandelbrot zn+1 = zn2 + c
📷Phân dạng trông giống bông hoa
📷Một phân dạng của tập hợp Julia
📷Một phân dạng Mandelbrot khác
Vật thể tự nhiên có cấu trúc phân dạng[sửa | sửa mã nguồn]
📷Kéo hai tấm nhựa trong suốt có dính keo ra khỏi nhau, ta có được một cấu trúc phân dạng.
📷Phóng điện cao thếtrong một khối nhựa trong suốt, ta thu được hình Lichtenberg có cấu trúc phân dạng.
📷Các vết nứt có cấu trúc phân dạng trên bề mặt đĩa DVD, sau khi đưa đĩa này vào lò vi sóng
📷Súp lơ xanh Romanescocó những cấu trúc phân dạng tự nhiên
Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]
Hình học Phân dạng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống và mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong nhiều lĩnh vực như sinh học, y học, thiên văn, kinh tế, công nghệ thông tin...
Khoa học máy tính[sửa | sửa mã nguồn]
Hình học Phân dạng có thể giúp thiết kế các hình ảnh đẹp trên máy tính một cách đơn giản và trực quan. Đây là một trong những lĩnh vực được nhiều người quan tâm, nhất là đối với những người yêu mến nghệ thuật. Cơ sở hình học Fractal cũng đã được ứng dụng trong công nghệ nén ảnh một cách hiệu quả thông qua các hệ hàm lặp (IFS), đây là một trong những lĩnh vực được các chuyên gia về khoa học máy tính đặc biệt quan tâm.
Phương pháp nén phân dạng là một phương pháp nén dữ liệu có mất mát thông tin cho ảnh số dựa trên phân dạng. Phương pháp này thích hợp nhất cho các ảnh tự nhiên dựa vào tính chất các phần của một bức ảnh thường giống với các phần khác của chính bức ảnh đó. Thuật toán phân dạng chuyển các phần này thành dữ liệu toán học được gọi là "mã phân dạng" và mã này được dùng để tái tạo lại bức ảnh đã được mã hóa. Đại diện của ảnh phân dạng được mô tả một cách toán học như là hệ thống các hàm lặp (IFS).
Như đã biết, với một ánh xạ co trên một không gian metric đầy đủ, luôn tồn tại một điểm bất động. Mở rộng kết quả này cho một họ các ánh xạ co, người ta chứng minh được với một họ ánh xạ như vậy luôn tồn tại một điểm bất động. Để ý rằng với một ánh xạ co, ta luôn tìm được điểm bất động của nó bằng cách lấy một giá trị khởi đầu rồi lặp lại nhiều lần ánh xạ đó trên các kết quả thu được của mỗi lần lặp. Số lần lặp càng nhiều thì giá trị tìm được càng xấp xỉ chính xác giá trị của điểm bất động. Do đó nếu ta coi ảnh cần nén là "điểm bất động" của một họ các ánh xạ co thì mỗi ảnh ta chỉ cần lưu thông tin về họ ánh xạ thích hợp, điều này sẽ làm giảm đi rất nhiều dung lượng cần có để lưu trữ thông tin ảnh.
Y học và sinh học[sửa | sửa mã nguồn]
Các nhà khoa học đã tìm ra các mối quan hệ giữa phân dạng với hình thù của tế bào, quá trình trao đổi chất của cơ thể người, AND, nhịp tim, … Trước đây, các nhà sinh học quan niệm lượng chất trao đổi phụ thuộc vào khối lượng cơ thể người, nghĩa là nó tỉ lệ bậc 3 khi xem xét con người là một đối tượng 3 chiều. Nhưng với góc nhìn từ hình học phân dạng, người ta cho rằng sẽ chính xác hơn nếu xem con người là một mặt phân dạng với số chiều xấp xỉ 2.5, như vậy tỉ lệ đó không nguyên nữa mà là một số hữu tỷ. Việc chẩn đoán bệnh áp dụng hình học phân dạng đã có những tiến bộ rõ rệt. Bằng cách quan sát hình dạng của các tế bào theo quan điểm phân dạng, người ta đã tìm ra các bệnh lý của con người, tuy nhiên những lĩnh vực này vẫn còn mới mẻ, cần phải được tiếp tục nghiên cứu.
Hóa học[sửa | sửa mã nguồn]
Hình học Phân dạng được sử dụng trong việc khảo sát các hợp chất cao phân tử. Tính đa dạng về cấu trúc polymer thể hiện sự phong phú về các đặc tính của hợp chất cao phân tử chính là các phân dạng. Hình dạng vô định hình, đường bẻ gãy, chuỗi, sự tiếp xúc của bề mặt polyme với không khí… đều có liên quan đến các phân dạng. Sự chuyển động của các phân tử, nguyên tử trong hợp chất, dung dịch, các quá trình tương tác gần giữa các chất với nhau,… đều có thể xem như một hệ động lực hỗn độn (chaos).
Vật lý[sửa | sửa mã nguồn]
Trong vật lý, khi nghiên cứu các hệ cơ học có năng lượng tiêu hao (chẳng hạn như có lực ma sát) người ta cũng nhận thấy trạng thái của các hệ đó khó xác định trước được và hình ảnh hình học của chúng là các đối tượng phân dạng.
Thiên văn học[sửa | sửa mã nguồn]
Các nhà khoa học đã tiến hành xem xét lại các quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời cung như trong các hệ thiên hà khác. Một số kết quả cho thấy không phải các hành tinh này quay theo một quỹ đạo Ellipse như trong hình học Euclide mà nó chuyển động theo các đường phân dạng. Quỹ đạo của nó được mô phỏng bằng những quỹ đạo trong các tập hút "lạ".
Kinh tế[sửa | sửa mã nguồn]
Mô tả sự biến động của giá cả trên thị trường chứng khoán bằng các đồ hình phân dạng sẽ cho phép chúng ta theo dõi sự biến động của giá cả. Trên cơ sở đó dự báo giá cả trên thị trường dựa theo các luật của hình học phân dạng.
📷Một sơ đồ Venn mô phỏng phép giao của hai tập hợp.Lý thuyết tập hợp là ngành toán học nghiên cứu về tập hợp. Mặc dù bất kỳ đối tượng nào cũng có thể được đưa vào một tập hợp, song lý thuyết tập hợp được dùng nhiều cho các đối tượng phù hợp với toán học.Sự nghiên cứu lý thuyết tập hợp hiện đại do Cantor và Dedekind khởi xướng vào thập niên 1870. Sau khi khám phá ra các nghịch lý trong lý thuyết tập không hình thức, đã có nhiều hệ tiên đề được đề nghị vào đầu thế kỷ thứ 20, trong đó có các tiên...
Đọc tiếp
📷Một sơ đồ Venn mô phỏng phép giao của hai tập hợp.
Lý thuyết tập hợp là ngành toán học nghiên cứu về tập hợp. Mặc dù bất kỳ đối tượng nào cũng có thể được đưa vào một tập hợp, song lý thuyết tập hợp được dùng nhiều cho các đối tượng phù hợp với toán học.
Sự nghiên cứu lý thuyết tập hợp hiện đại do Cantor và Dedekind khởi xướng vào thập niên 1870. Sau khi khám phá ra các nghịch lý trong lý thuyết tập không hình thức, đã có nhiều hệ tiên đề được đề nghị vào đầu thế kỷ thứ 20, trong đó có các tiên đề Zermelo–Fraenkel, với tiên đề chọn là nổi tiếng nhất.
Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp được dùng trong định nghĩa của gần như tất cả các đối tượng toán học, như hàm số, và các khái niệm lý thuyết tập hợp được đưa nhiều chương trình giảng dạy toán học. Các sự kiện cơ bản về tập hợp và phần tử trong tập hợp có thể được mang ra giới thiệu ở cấp tiểu học, cùng với sơ đồ Venn, để học về tập hợp các đối tượng vật lý thường gặp. Các phép toán cơ bản như hội và giao có thể được học trong bối cảnh này. Các khái niệm cao hơn như bản số là phần tiêu chuẩn của chương trình toán học của sinh viên đại học.
Lý thuyết tập hợp, được hình thức hóa bằng lôgic bậc nhất (first-order logic), là phương pháp toán học nền tảng thường dùng nhất. Ngoài việc sử dụng nó như một hệ thống nền tảng, lý thuyết tập hợp bản thân nó cũng là một nhánh của toán học, với một cộng đồng nghiên cứu tích cực. Các nghiên cứu mới nhất về lý thuyết tập hợp bao gồm nhiều loại chủ đề khác nhau, từ cấu trúc của dòng số thực đến nghiên cứu tính nhất quán của bản số lớn.
Mục lục
1Lịch sử
1.1Thế kỷ 19
1.220. Jahrhundert
2Khái niệm và ký hiệu cơ bản
2.1Quan hệ giữa các tập hợp
2.1.1Quan hệ bao hàm
2.1.2Quan hệ bằng nhau
2.2Các phép toán trên các tập hợp
3Ghi chú
4Liên kết ngoài
5Đọc thêm
Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]
📷Georg Cantor
Các chủ đề về toán học thường xuất hiện và phát triển thông qua sự tương tác giữa các nhà nghiên cứu. Tuy nhiên, lý tuyết tập hợp được tìm thấy năm 1874 bởi Georg Cantor thông qua bài viết: "On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers".[1][2]
Thế kỷ 19[sửa | sửa mã nguồn]
📷Tập hợp như là một thu góp trong tư tưởng các đối tượng có quan hệ nào đó với nhau.
Cái trống là phần tử của tập hợp
Cuốn sách không phải là phần tử của tập hợp.
Lý thuyết tập hợp được sáng lập bởi Georg Cantor trong những năm 1874 đến năm 1897. Thay cho thuật ngữ "tập hợp", ban đầu ông ta đã sử dụng những từ như "biểu hiện" (inbegriff) hoặc "sự đa dạng" (Mannigfaltigkeit); Về tập hợp và Lý thuyết tập hợp, ông chỉ nói sau đó. Năm 1895, ông đã diễn tả định nghĩa sau:
“Qua một "tập hợp", chúng ta hiểu là bất kỳ một tổng hợp M của một số vật thể m khác nhau được xác định rõ ràng trong quan điểm hoặc suy nghĩ của chúng ta (được gọi là "các phần tử" của M) thành một tổng thể.”
Cantor phân loại các tập hợp, đặc biệt là những tập hợp vô hạn, theo Lực lượng của chúng. Đối với tập hợp hữu hạn, đây là số lượng các phần tử của chúng. Ông gọi hai tập hợp " có lực lượng bằng nhau" khi chúng được ánh xạ song ánh với nhau, tức là khi có một mối quan hệ một-một giữa các phần tử của chúng. Cái được định nghĩa là sự đồng nhất lực lượng là một quan hệ tương đương, và một lực lượng hay số phần tử của một tập hợp M theo Cantor, là lớp tương đương của các tập hợp có lực lượng bằng M. Ông là người đầu tiên quan sát thấy rằng có những lực lựong vô hạn khác nhau. Tập hợp các số tự nhiên, và tất cả các tập hợp có lực lượng bằng nó, được Cantor gọi là 'Tập hợp đếm được, tất cả các tập hợp vô hạn khác được gọi là tập hợp không đếm được.
Các kết quả quan trọng từ Cantor
Tập hợp của số tự nhiên, số hữu tỉ (lập luận chéo đầu tiên của Cantor) và số đại số là đếm được và có lực lượng bằng nhau.
Tập hợp số thực có lực lượng lớn hơn so với các số tự nhiên, đó là không đếm được (luận chéo thứ hai củaCantor).
Tập hợp của tất cả các tập hợp con của một tập hợp M luôn luôn có lực lượng lớn hơn là M , mà còn được gọi là định lý Cantor.
Từ bất kỳ hai tập hợp có ít nhất một tập hợp cùng lực lượng với một tập hợp con của tập hợp kia.
Có rất nhiều lực lượng của tập hợp không đếm được.
Cantor gọi Giả thiết continuum là "có một lực lượng ở giữa tập hợp các số tự nhiên và tập hợp các số thực " Ông đã cố gắng để giải quyết, nhưng không thành công. Sau đó nó bật ra rằng vấn đề này trên nguyên tắc không quyết định được.
Ngoài Cantor, Richard Dedekind là một nhà tiên phong quan trọng của lý thuyết về lý thuyết tập hợp. Ông đã nói về các "hệ thống" thay vì tập hợp và phát triển một cấu trúc lý thuyết tập hợp của các con số thực vào năm 1872[4], một số lượng lý thuyết xây dựng số thực [2] và 1888 nói về tiên đề hóa lý thuyết tập hợp các con số tự nhiên.[5]Ông là người đầu tiên tạo ra công thức tiên đề Axiom of extensionality của lý thuyết tập hợp.
Ngay từ năm 1889, Giuseppe Peano, người đã miêu tả tập hợp là các tầng lớp, đã tạo ra cách tính toán bằng công thức logic các tầng lớp đầu tiên làm cơ sở cho số học của ông với các tiên đề Peano, mà ông đã mô tả lần đầu tiên trong một ngôn ngữ lý thuyết tập hợp chính xác. Do đó ông đã phát triển cơ sở cho ngông ngữ công thức ngày nay của lý thuyết tập hợp và giới thiệu nhiều biểu tượng được phổ biến ngày nay, đặc biệt là ký hiệu phần tử {\displaystyle \in }📷, được đọc là là "phần tử của"[6]. Trong khi đó {\displaystyle \in }📷 là chữ viết thường của ε (epsilon) của từ ἐστί (tiếng Hy Lạp: "là").[7]
Gottlob Frege đã cố gắng đưa ra một lý giải lý thuyết tập hợp khác của lý thuyết về số học vào năm 1893. Bertrand Russell đã phát hiện ra mâu thuẫn của nó vào năm 1902, được biết đến như là Nghịch lý Russell. Sự mâu thuẫn này và các mâu thuẫn khác nảy sinh do sự thiết lập tập hợp không hạn chế, đó là lý do tại sao dạng thức ban đầu của lý thuyết tập hợp sau này được gọi là lý thuyết tập hợp ngây thơ. Tuy nhiên, định nghĩa của Cantor không có ý muốn nói tới một lý thuyết tập hợp ngây thơ như vậy, như chứng minh của ông về loại tất cả là Nichtmenge cho thấy bởi nghịch lý Cantor thứ hai [6].[8]
Học thuyết của Cantor về lý thuyết tập hợp hầu như không được công nhận bởi những người đương thời về vai trò quan trọng của nó, và không được coi là bước tiến cách mạng, mà đã bị một số các nhà toán học như Leopold Kronecker không chấp nhận. Thậm chí nhiều hơn, nó còn bị mang tiếng khi các nghịch lý được biết tới, ví dụ như Henri Poincaré, chế diễu, "Logic không còn hoàn toàn, bây giờ nó tạo ra những mâu thuẫn."
20. Jahrhundert[sửa | sửa mã nguồn]
Trong thế kỷ XX, những ý tưởng của Cantor tiếp tục chiếm ưu thế; đồng thời, trong Logic toán, một lý thuyết Axiomatic Quantum đã được thiết lập, qua đó có thể vượt qua các mâu thuẫn hiện thời.
Năm 1903/1908 Bertrand Russell phát triển Type theory của mình, trong đó tập hợp luôn luôn có một kiểu cao hơn các phần tử của chúng, do đó sự hình thành các tập hợp có vấn đề sẽ không thể xảy ra. Ông chỉ ra cách đầu tiên ra khỏi những mâu thuẫn và cho thấy trong "Principia Mathematica" của 1910-1913 cũng là một phần hiệu quả của Type theory ứng dụng. Cuối cùng, tuy nhiên, nó chứng tỏ là không thích hợp với lý thuyết tập hợp của Cantor và cũng không thể vượt qua được sự phức tạp của nó.
Tiên đề lý thuyết tập hợp được phát triển bởi Ernst Zermelo vào năm 1907 ngược lại dễ sử dụng và thành công hơn, trong đó schema of replacement của ông là cần thiết để bổ sung vào. Zermelo thêm nó vào hệ thống Zermelo-Fraenkel năm 1930, mà ông gọi tắt là hệ thống-ZF. Ông đã thiết kế nó cho Urelement mà không phải là tập hợp, nhưng có thể là phần tử của tập hợp và được xem như cái Cantor gọi là "đối tượng của quan điểm của chúng tôi." Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel, tuy nhiên, theo ý tưởng Fraenkel là lý thuyết tập hợp thuần túy mà đối tượng hoàn toàn là các tập hợp.
Tuy nhiên, nhiều nhà toán học thay vì theo một tiên đề hợp lý lại chọn một lý thuyết tập hợp thực dụng, tránh tập hợp có vấn đề, chẳng hạn như những áp dụng của Felix Hausdorff1914 hoặc Erich Kamke từ năm 1928. Dần dần các nhà toán học ý thức hơn rằng lý thuyết tập hợp là một cơ bản không thể thiếu cho cấu trúc toán học. Hệ thống ZF chứng minh được trong thực hành, vì vậy ngày nay nó được đa số các nhà toán học công nhận là cơ sở của toán học hiện đại; không còn có mâu thuẫn có thể bắt nguồn từ hệ thống ZF. Tuy nhiên, sự không mâu thuẫn chỉ có thể được chứng minh cho lý thuyết tập hợp với tập hợp hữu hạn, chứ không phải cho toàn bộ hệ thống ZF, mà chứa lý thuyết tập hợp của Cantor với tập hợp vô hạn. Theo Gödel's incompleteness theorems năm 1931 một chứng minh về tính nhất quán về nguyên tắc là không thể được. Những khám phá Gödel chỉ là chương trình của Hilbert để cung cấp toán học và lý thuyết tập hợp vào một cơ sở tiên đề không mâu thuẫn được chứng minh, một giới hạn, nhưng không cản trở sự thành công của lý thuyết trong bất kỳ cách nào, vì vậy mà một khủng hoảng nền tảng của toán học, mà những người ủng hộ của Intuitionismus, trong thực tế không được cảm thấy.
Tuy nhiên, sự công nhận cuối cùng của lý thuyết tập hợp ZF trong thực tế trì hoãn trong một thời gian dài. Nhóm toán học với bút danh Nicolas Bourbaki đã đóng góp đáng kể cho sự công nhận này; họ muốn mô tả mới toán học đồng nhất dựa trên lý thuyết tập hợp và biến đổi nó vào năm 1939 tại các lãnh vực toán học chính thành công. Trong những năm 1960, nó trở nên phổ biến rộng rãi rằng, lý thuyết tập hợp ZF thích hợp là cơ sở cho toán học. Đã có một khoảng thời gian tạm thời trong đó lý thuyết số lượng đã được dạy ở tiểu học.
Song song với câu chuyện thành công của thuyết tập hợp, tuy nhiên, việc thảo luận về các tiên đề tập hợp vẫn còn lưu hành trong thế giới chuyên nghiệp. Nó cũng hình thành những lý thuyết tập hợp tiên đề thay thế khoảng năm 1937 mà không hướng theo Cantor và Zermelo-Fraenkel, nhưng dựa trên Lý thuyết kiểu (Type Theory) của Willard Van Orman Quine từ New Foundations (NF) của ông ta, năm 1940 lý thuyết tập hợp Neumann-Bernays-Godel, mà khái quát hóa ZF về các lớp (Class (set theory)), hay năm 1955, lý thuyết tập hợp Ackermann, khai triển mới định nghĩa tập hợp của Cantor.
Khái niệm và ký hiệu cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]
Lý thuyết tập hợp bắt đầu với một quan hệ nhị phân cơ bản giữa một phần tử o và một tập hợp A. Nếu o là một thành viên (hoặc phần tử) của A, ký hiệu o ∈ A được sử dụng. Khi đó ta cũng nói rằng phần tử a thuộc tập hợp A. Vì các tập cũng là các đối tượng, quan hệ phần tử cũng có thể liên quan đến các tập.
Quan hệ giữa các tập hợp[sửa | sửa mã nguồn]
Quan hệ bao hàm[sửa | sửa mã nguồn]
Nếu tất cả các thành viên của tập A cũng là thành viên của tập B , thì A là một Tập hợp con của B , được biểu thị {\displaystyle A\subseteq B}📷, và tập hợp B bao hàm tập hợp A. Ví dụ, {1, 2} là một tập hợp con của {1, 2, 3}, và {2} cũng vậy, nhưng { 1, 4} thì không.
Quan hệ bằng nhau[sửa | sửa mã nguồn]
Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A là tập hợp con của B và B cũng là tập hợp con của A, ký hiệu A = B.
Theo định nghĩa, mọi tập hợp đều là tập con của chính nó; tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Mọi tập hợp A không rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Chúng được gọi là các tập con tầm thường của tập A. Nếu tập con B của A khác với chính A, nghĩa là có ít nhất một phần tử của A không thuộc B thì B được gọi là tập con thực sự hay tập con chân chính của tập A.
Chú ý rằng 1 và 2 và 3 là các thành viên của tập {1, 2, 3}, nhưng không phải là tập con, và các tập con, chẳng hạn như {1}, không phải là thành viên của tập {1, 2, 3}.
Các phép toán trên các tập hợp[sửa | sửa mã nguồn]
Hợp (Union): Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A {\displaystyle \cup }📷 B
Ta có A {\displaystyle \cup }📷 B = {x: x {\displaystyle \in }📷 A hoặc x {\displaystyle \in }📷 B}, hợp của {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là tập {1, 2, 3, 4}.
Giao (Intersection): Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A {\displaystyle \cap }📷 B
Ta có A {\displaystyle \cap }📷 B = {x: x {\displaystyle \in }📷 A và x {\displaystyle \in }📷 B}, giao của {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là tập { 2, 3}.
Hiệu (Difference): Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu {\displaystyle A\setminus B}📷
Ta có: A \ B = {x: x {\displaystyle \in }📷 A và x {\displaystyle \notin }📷 B}Lưu ý, A \ B {\displaystyle \neq }📷 B \ A
Phần bù (Complement): là hiệu của tập hợp con. Nếu A{\displaystyle \subset }📷B thì B \ A được gọi là phần bù của A trong B, ký hiệu CAB (hay CB A)
4 bí ẩn vũ trụ khoa học chưa thể giải thích Những tia vũ trụ năng lượng cao đến từ đâu?Theo trang Wikipedia định nghĩa thì những tia vũ trụ năng lượng cao chính là những hạt nhỏ di chuyển cực nhanh vì chúng được bắn xuống từ ngoài không gian với năng lượng cao. Các Positron (một phản hạt của electron) có chiếm một phần nhỏ trong số những hạt này và các nhà khoa học chưa rõ chúng hình thành như thế nào hay đến từ đâu. Vấn đề trở nên phức tạp hơn khi vào năm 2008, tàu thăm dò PAMELA hoạt động trên...
Đọc tiếp
4 bí ẩn vũ trụ khoa học chưa thể giải thích
Những tia vũ trụ năng lượng cao đến từ đâu?
Theo trang Wikipedia định nghĩa thì những tia vũ trụ năng lượng cao chính là những hạt nhỏ di chuyển cực nhanh vì chúng được bắn xuống từ ngoài không gian với năng lượng cao. Các Positron (một phản hạt của electron) có chiếm một phần nhỏ trong số những hạt này và các nhà khoa học chưa rõ chúng hình thành như thế nào hay đến từ đâu. Vấn đề trở nên phức tạp hơn khi vào năm 2008, tàu thăm dò PAMELA hoạt động trên quỹ đạo phát hiện, số lượng positron năng lượng cao dội xuống Trái Đất lớn hơn nhiều so với ước tính của các nhà khoa học. Cho đến nay đây vẫn là một bí ẩn vũ trụ mà các nhà khoa học chưa tìm được lời giải thích.
Vũ trụ sẽ kết thúc như thế nào?
Các nhà thiên văn ước tính Mặt trời sẽ tiêu diệt Trái đất sau khoảng sáu tỷ năm. Tuy nhiên, theo giả thuyết động lực học, vũ trụ có thể bị diệt vong, tiêu tan toàn bộ hành tinh, ngôi sao thiên hà ở một cột mốc thời gian nào đó. Tuy nhiên lại có quan điểm cho rằng vũ trụ lại tiếp tục mở rộng hơn nữa. Điều này sẽ khiến lực hấp dẫn vũ trụ đạt đỉnh điểm và sau cùng là nó sẽ bị co lại thành một khối đặc.
Cũng theo Wikipedia, cho đến lúc này các nhà vật lý đã vẽ ra khoảng sáu kịch bản mà vũ trụ sẽ kết thúc. Chúng gồm Big Freeze (Vụ đóng băng lớn), Big Crunch (Vụ co lớn), Big Bounce (Vụ dao động lớn), Big Change (Vụ thay đổi lớn), Big Rip (Vụ Xé lớn) và Multiverse (Đa vũ trụ). Mỗi kịch bản xảy ra tuỳ theo sự thay đổi của một số yếu tố cơ bản như năng lượng tối (dark energy), lực hấp dẫn đến từ vật chất có khối lượng hoặc năng lượng "ma" (phantom dark energy)...
Sao Hỏa liệu có từng có sự sống?
📷
Bằng chứng là năm 2011, các nhà khoa học công nhận màu đỏ trên sao Hỏa có thể là kết quả của một vụ nổ hạt nhân lớn hay các hình ảnh ghi lại được cho thấy sao Hỏa giống như hành tinh sống sót sau những cuộc tấn công hạt nhân.
Ngoài ra, còn rất nhiều bằng chứng về vật thể lạ, con sông, đại dương, vết tích lũ lụt tìm thấy trên sao Hỏa nhưng việc có hay không từng có một cuộc sống nào đó trên sao Hỏa thì khoa học vẫn chưa khẳng định được. Tất cả chỉ đang dừng lại ở các bằng chứng, nghi vấn, giả thuyết...
Bên trong lỗ đen nó là gì?
Bên trong lỗ đen vũ trụ thực chất là gì thì chưa ai có được câu trả lời. Chúng ta chỉ biết rằng, hố đen có sức hút cực lớn và bất cứ hành tinh nào khi bị hút vào lỗ đen cũng sẽ biến mất không còn một dấu vết. Và có quan điểm khoa học ngược lại cho rằng, hành tinh không hề bị phá hủy khi lọt vào trong lỗ đen.
Trên đây là tổng hợp bốn bí ẩn vũ trụ đã được nhiều nhà khoa học nghiên cứu trong nhiều năm nhưng kết quả vẫn chưa thu được gì nhiều. Có lẽ sẽ còn rất lâu nữa các nhà khoa học mới có thể tìm ra câu trả lời.
13 tháng 12 2019 lúc 9:51
Hiện nay, trên thế giới có khá nhiều người mê tín về cung hoàng đạo, và thực sự nó đã trở thành điều được nhiều người tin cho là đúng. Vậy, bạn đang ở cung hoàng đạo nào? Hãy gửi câu trả lời để tôi có thể biết thêm về bạn.Nhưng để biết bạn cung nào, hãy điền đầy đủ thông tin vào đây:- Họ và tên: ………………………………….. [VD: Nguyễn Văn A]- Ngày sinh: …………………………………... [VD: 20/1/2004]- Giới tính: ……………………………….. [VD: Nam]
Đọc tiếp
Hiện nay, trên thế giới có khá nhiều người mê tín về cung hoàng đạo, và thực sự nó đã trở thành điều được nhiều người tin cho là đúng.
Vậy, bạn đang ở cung hoàng đạo nào? Hãy gửi câu trả lời để tôi có thể biết thêm về bạn.
Nhưng để biết bạn cung nào, hãy điền đầy đủ thông tin vào đây:
- Họ và tên: ………………………………….. [VD: Nguyễn Văn A]
- Ngày sinh: …………………………………... [VD: 20/1/2004]
- Giới tính: ……………………………….. [VD: Nam]
Dải ngân hà lớn như thế nào? Khi thoát ra khỏi ánh đèn thành phố và nhìn lên bầu trời vào ban đêm bạn sẽ thấy những dải sao dáng lấp lánh tạo nên dải ngân hà tuyệt đẹp. Chính bởi dải ngân hà quá rộng lớn nên vẫn còn nhiều điều bí ẩn mà khoa học chưa thể khám phá hết.Từ trước tới nay, đã không ít những nghiên cứu về dải ngân hà của các nhà khoa học tuy nhiên cho tới thời điểm hiện tại vẫn chưa thể khẳng định được dải ngân hà nặng bao nhiêu. Theo tính toán ước lượng, các nhà khoa học cho rằng dải...
Đọc tiếp
Dải ngân hà lớn như thế nào?
Khi thoát ra khỏi ánh đèn thành phố và nhìn lên bầu trời vào ban đêm bạn sẽ thấy những dải sao dáng lấp lánh tạo nên dải ngân hà tuyệt đẹp. Chính bởi dải ngân hà quá rộng lớn nên vẫn còn nhiều điều bí ẩn mà khoa học chưa thể khám phá hết.
Từ trước tới nay, đã không ít những nghiên cứu về dải ngân hà của các nhà khoa học tuy nhiên cho tới thời điểm hiện tại vẫn chưa thể khẳng định được dải ngân hà nặng bao nhiêu. Theo tính toán ước lượng, các nhà khoa học cho rằng dải ngân hà có khối lượng khoảng từ 700 tỷ đến 2 nghìn tỷ lần so với Mặt trời.
Nhà thiên văn học Ekta Patel thuộc Đại học Arizona ở Tucson nói với Live Science, thực tế để đo được dải ngân hà nặng bao nhiêu không phải là chuyện dễ dàng. Nó giống như việc điều tra dân số ở Hoa Kỳ nhưng bạn lại không được sử dụng mạng internet hay không thể rời khỏi thành phố bạn sống.
Cũng theo Ekta Patel, lý do không thể đo được chính xác dải ngân hà chính là bởi phần lớn khối lượng của thiên hà là vô hình. Vật chất tối, một chất bí ẩn không phát ra bất kỳ loại ánh sáng nào, chiếm khoảng 85% dải ngân hà. Vì vậy, chỉ dựa vào số lượng các ngôi sao không thì cũng không thể giúp con người có câu trả lời chính xác và tiến xa hơn.
Do đó, Patel nói, các nhà nghiên cứu thường nhìn vào quỹ đạo của một số thiên thể. Phương pháp này dựa trên các phương trình trọng lực của Isaac Newton hơn 300 năm trước đã cho chúng ta biết rằng, tốc độ và khoảng cách mà một vật thể nhỏ hơn xoay quanh một vật lớn hơn có liên quan đến khối lượng của vật thể lớn hơn.
Trong một nghiên cứu năm 2017 được công bố trên Tạp chí Vật lý thiên văn, các nhà nghiên cứu đã sử dụng một phương pháp đó là nhìn vào các thiên hà vệ tinh nhỏ cách xa hàng trăm ngàn năm ánh sáng đi xung quanh dải ngân hà giống như các hành tinh quay quanh một ngôi sao.
Nhưng có một vấn đề với các thiên hà vệ tinh này chính là quỹ đạo của chúng dài hàng tỷ năm. Có nghĩa là sau một vài năm thì những hành tinh này hầu như không di chuyển khiến cho các nhà nghiên cứu khó có thể xác định được tốc độ quỹ đạo của chúng.
Tiếp theo, trong một nghiên cứu vào tháng 6/2018 được công bố trên Tạp chí Vật lý thiên văn, Patel và các đồng nghiệp đã thử một phương pháp mới để cân thiên hà. Họ đã nghiên cứu rất kỹ các mô phỏng thông qua máy tính về vũ trụ ảo để có thể tính toán về tốc độ quay của các thiên hà nhỏ xung quanh thiên hà lớn hơn.
Theo đó đã có khoảng 90.000 thiên hà vệ tinh được các nhà nghiên cứu mô phỏng sau đó được so sánh với các dữ liệu về 9 thiên hà thực sự quay quanh dải ngân hà.
Để nghiên cứu được rõ ràng hơn các nhà nghiên cứu đã lựa chọn ra các thiên thể có đặc tính quỹ đạo phù hợp nhất với các thiên hà vệ tinh để xem xét khối lượng của các thiên hà được mô phỏng mà chúng quay xung quanh.
Nghiên cứu đã cho các nhà khoa học có thể ước tính được khối lượng thực sự của dải ngân hà của chúng ta là bao nhiêu. Theo đó, dải ngân hà gấp 960 tỷ lần khối lượng Mặt trời.
Nhà nghiên cứu Patel cho biết, kết quả này khá khả quan mặc dù vẫn chưa thể cho con số chính xác hơn. Để có câu trả lời tốt hơn, có thể sẽ sử dụng vệ tinh Gaia của Cơ quan Vũ trụ châu Âu. Đây là một vệ tinh đưa ra các phép đo cực kỳ chính xác của 30 thiên hà lùn mờ quay quanh dải ngân hà.
Patel nói thêm, cô sẽ sử dụng dữ liệu này kết hợp với các mô phỏng vũ trụ để cân đối các phép đo trọng lượng chính là nhiệm vụ trong tương lai của cô.
Gần đây, Kính viễn vọng Không gian Hubble của NASA và vệ tinh Gaia của Cơ quan Vũ trụ Châu Âu đã kết hợp với nhau để quan sát các cụm sao hình cầu quay quanh thiên hà và đã phát hiện ra rằng, dải ngân hà nặng khoảng 1,5 nghìn tỷ khối lượng Mặt trời. Đây là con số chính xác hơn hẳn các nghiên cứu trước đó sẽ được công bố sớm trên Tạp chí Vật lý thiên văn.
Patel nói, khi biết khối lượng của thiên hà sẽ giúp các nhà thiên văn học phát hiện ra nhiều điều bí ẩn khác. Cho tới nay, nhờ vào kính thiên văn các nhà khoa học đã phát hiện ra khoảng 50 thiên hà đi quanh dải ngân hà. Dù vậy, các nhà khoa học vẫn chưa có câu trả lời chính xác tuyệt đối về dài ngân hà nặng bao nhiêu, có khoảng bao nhiêu thiên hà vệ tinh sẽ được tìm thấy?
Patel hy vọng rằng, các nghiên cứu trong tương lai và những con số đã được các nhà khoa học ước lượng được sẽ là dữ liệu để xác định khối lượng của dải ngân hà thực sự nặng bao nhiêu. Có thể trong khoảng 10 năm hoặc 20 năm nữa chúng ta sẽ có câu trả lời tốt hơn.
Theo khoahoc.tv
Tô pô hay tô pô học có gốc từ trong tiếng Hy Lạp là topologia (tiếng Hy Lạp: τοπολογία) gồm topos (nghĩa là nơi chốn) và logos (nghiên cứu), là một ngành toán học nghiên cứu các đặc tính còn được bảo toàn qua các sự biến dạng, sự xoắn, và sự kéo giãn nhưng ngoại trừ việc xé rách và việc dán dính. Do đó, tô pô còn được mệnh danh là hình học của màng cao su. Các đặc tính đó gọi là các bất biến tô pô. Khi ngành học này lần đầu tiên tìm ra trong những năm đầu của thế kỉ 20 thì nó vẫn được gọi bằng t...
Đọc tiếp
Tô pô hay tô pô học có gốc từ trong tiếng Hy Lạp là topologia (tiếng Hy Lạp: τοπολογία) gồm topos (nghĩa là "nơi chốn") và logos (nghiên cứu), là một ngành toán học nghiên cứu các đặc tính còn được bảo toàn qua các sự biến dạng, sự xoắn, và sự kéo giãn nhưng ngoại trừ việc xé rách và việc dán dính. Do đó, tô pô còn được mệnh danh là "hình học của màng cao su". Các đặc tính đó gọi là các bất biến tô pô. Khi ngành học này lần đầu tiên tìm ra trong những năm đầu của thế kỉ 20 thì nó vẫn được gọi bằng tiếng Latinh là geometria situs (hình học của nơi chốn) và analysis situs (giải tích nơi chốn). Từ khoảng 1925 đến 1975 nó đã trở thành lãnh vực lớn mạnh quan trọng bậc nhất của toán học.
Thuật ngữ tô pô cũng để chỉ một đối tượng toán học riêng biệt trong ngành. Với ý nghĩa này, một tô pô là một họ của các tập mở mà có chứa tập trống và toàn bộ không gian, và nó đóng dưới các phép hội bất kì và phép giao hữu hạn. Và đây là định nghĩa của một không gian tô pô.
Mục lục
1Giới thiệu
2Lịch sử
3Dẫn nhập sơ khởi
4Toán học tô pô
5Một số định lý tổng quát về tô pô
6Một số đề tài hữu ích về tô pô đại số
7Phác thảo lý thuyết đi sâu hơn
8Tổng quát hóa
9Xem thêm
10Tham khảo
11Liên kết ngoài
Giới thiệu[sửa | sửa mã nguồn]
📷Một tách cà phê trở thành vòng xuyến qua sự biến dạng hình học bảo toàn các bất biến tô pô. Cả tách cà phê và bánh vòng đều có những tính chất tô pô hoàn toàn giống nhau.
Người ta có phát biểu rằng một nhà tô pô học là người mà không thể phân biệt được sự khác nhau giữa một cái vòng xuyến và một ca đựng bia có quai. Vì cả hai đều là vật rắn và có đúng 1 lỗ hổng. Đôi khi tô pô còn được gọi là hình học về miếng cao suvì trong tô pô thì không có sự phân biệt giữa một đường hình vuông với một đường tròn. Đường hình tròn có thể được kéo co giãn để biến dạng thành hình vuông. Tuy nhiên, đường tròn thì hoàn toàn phân biệt với đường hình số 8, bởi vì không thể nào kéo giãn hình tròn để tạo thành hình số 8 mà không đục xé nó ra thêm một lỗ. Các không gian nghiên cứu trong tô pô gọi là các không gian tô pô. Chúng thay đổi từ dạng quen thuộc như không gian thực n chiều cho đến các cấu trúc vô cùng kì lạ.
Như vậy có thể nói một cách nôm na rằng tô pô là một ngành nghiên cứu về đặc tính của các cấu trúc đặc có tính siêu co giãn, siêu biến dạng nhưng lại không thể bị cắt rời thành nhiều mảnh, không thể bị đâm thủng hay bị dán dính vào nhau.
📷Mặt Mobius-một mặt có thể đi sang bên kia mà không phải vòng qua mép
.
Tô pô giới thiệu thêm một ngôn ngữ hình học mới - như là các phức đơn hình (simplicial complex), đồng luân (homotopy), đối đồng điều (cohomology), đối ngẫu Poincaré (Poincaré duality), phân thớ (fibration), không gian vec tơ tô pô (topological vector space), bó(sheaf), lớp đặc trưng (characteristic class), hàm Morse (Morse function), đại số đồng điều (homological algebra), dãy phổ (spectral sequence). Nó đã tạo ra một tác động chính đến các lĩnh vực rộng rãi của hình học vi phân (differential geometry), hình học đại số(algebraic geometry), hệ thống động lực học (dynamical system), phương trình đạo hàm riêng (partial differential equation) và hàm nhiều biến phức (several complex variables). "Hình học", theo cách diễn giải của Michael Atiyah và trường phái của ông ngày nay, bao gồm điều kể trên. Một cách nội hàm, bộ môn này có các lĩnh vực tô pô tập điểm (point-set topology) hay tô pô đại cương(general topology) nghiên cứu về các không gian tô pô mà không có thêm các điều kiện giới hạn; trong khi các lĩnh vực khác lại nghiên cứu các không gian tô pô giống như là các đa tạp (manifold). Những lĩnh vực đó bao gồm tô pô đại số (algebraic topology) - phát triển từ tô pô tổ hợp (combinatorial topology), tô pô hình học (geometric topology), tô pô ít chiều (low-dimensional topology) - chẳng hạn lo về lý thuyết nút (knot theory), và tô pô vi phân (differential topology).
Đây là bài viết tổng quan về tô pô. Để có các khái niệm chính xác toán học, xem thêm bài không gian tô pô hoặc các bài viết trong danh sách dưới đây. Bài thuật ngữ tô pô bao gồm các định nghĩa của các thuật ngữ dùng trong tô pô học.
Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]
Nguồn gốc của tô pô đã được người ta biết đến từ môn hình học trong các nền văn hóa cổ đại. Gottfried Leibniz là người đầu tiên khai thác thật ngữ analysus situs, sau đó các nghiên cứu trong thế kỉ 19 đã dùng như ngày nay là tô pô. Trong tiểu luận của Leonhard Euler về Bảy cầu Königsberg đã viết về các thành quả tô pô.
Từ topology được nhà toán học người Đức Johann Benedict Listing đưa ra sử dụng lần đầu tiên năm 1847 trong Vorstudien zur Topologie, mặc dù ông đã dùng nó từ mười năm trước
Georg Cantor, cha đẻ của lý thuyết tập hợp, đã khởi sự nghiên cứu lý thuyết tập điểm trong các không gian Euclide vào nửa cuối thế kỉ 19 như là một phần của khảo cứu về chuỗi Fourier.
Năm 1895, Henri Poincaré xuất bản tác phẩm Analyis Situs, đã giới thiệu các khái niệm về đồng luân và đồng điều.
Maurice Fréchet, thống nhất các nghiên cứu về không gian hàm của các nhà toán học Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli và những người khác. Ông đã dẫn nhập khái niệm về không gian metric trong năm 1906.
Năm 1914, Felix Hausdorff, tổng quát hóa đặc tính của không gian metric và đặt ra khái niệm "không gian tô pô" đồng thời cung cấp một định nghĩa mà ngày nay gọi là không gian Hausdorff.
Cuối cùng, vào năm 1922 Kazimierz Kuratowski đã tổng quát hóa thêm một bước nhỏ để đạt tới khái niệm không gian tô pô như hiện nay.
Thuật ngữ topologie được giới thiệu lần đầu ở Đức vào năm 1847 bởi Johann Benedict Listing trong cuốn Vorstudien zur Topologie (Những nghiên cứu trước tác về tô pô), Vandenhoeck và Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1948. Mặc dù vậy, Listing đã dùng chữ này từ mười năm trước. Topology, dạng Anh ngữ, đã được giới thiệu trong bản in của Solomon Lefschetz năm 1930 để thay cho tên trước đó là analysis situs. Riêng thuật ngữ topologist (nhà tô pô học), một chuyên gia trong ngành tô pô, có lẽ đã ra đời khoảng 1920.
📷Danh sách một số nhà nghiên cứu Tô pô ít chiều (low-dimensional topology) gần đây
Dẫn nhập sơ khởi[sửa | sửa mã nguồn]
Các không gian tô pô được tìm thấy sẵn có trong giải tích toán học, đại số trừu tượng và hình học. Điều này đã làm cho ngành nghiên cứu này trở thành đối tượng quan trọng trong việc thống nhất toán học. Tô pô đại cương, hay tô pô tập điểm, xác định và nghiên cứu những đặc tính hữu dụng của các không gian và các ánh xạ như là tính liên thông, tính compact và tính liên tục. Tô pô đại số là công cụ rất mạnh để nghiên cứu các không gian tô pô và các ánh xạ giữa chúng. Nó liên kết "rời rạc" và có nhiều bất biến khả đoán với các ánh xạ và các không gian thường là trong một cách thức có tính hàm tử. Các luận giải từ môn tô pô đại số ảnh hưởng lớn đến đại số trừu tượng và hình học đại số.
📷Bảy cây cầu Königsberg, một bài toán tô pô nổi tiếng
Động cơ rõ ràng phía sau của tô pô là việc một số vấn đề hình học không phụ thuộc vào hình dạng chính xác của đối tượng tham gia mà phụ thuộc vào "cách thức chúng nối kết nhau". Một trong những bài viết đầu tiên về tô pô được Leonhard Euler mô tả rằng không thể tìm ra một cách đi xuyên qua các thị tứ của Königsberg mà chỉ băng qua mỗi cầu nối giữa chúng đúng một lần. Kết quả này không phụ thuộc vào độ dài của các cây cầu, hay ngay cả khoảng cách giữa chúng mà chỉ phụ thuộc vào các đặc tính liên thông: Các cây cầu được nối như thế nào giữa các cù lao và các bờ sông. Bài toán này, được gọi là Bảy cầu ở Königsberg, đã trở thành bài toán dẫn nhập nổi tiếng trong toán, và đưa tới một phân nhánh là lý thuyết đồ thị.
Tương tự, định lý mặt cầu tóc của tô pô đại số bảo rằng "người ta không thể chải xuôi tóc trên một mặt cầu trơn". Ý nghĩa thực của nó là không tồn tại một mặt cầu tóc nào mà không có "xoáy" ngoại trừ tất cả tóc đều dựng đứng. Định lý này lập tức thuyết phục được hầu hết mọi người (do tính thực tế kiểm nghiệm được trên bản thân). Mặc dù rằng những người biết tới định lý này có thể không nhận biết mệnh đề phát biểu chính thức của định lý. Đó là Trên một mặt cầu, không tồn tại trường vectơ tiếp tuyến liên tục không triệt tiêu nào, cũng giống Bài toán Bảy cây cầu, kết quả trên không phụ thuộc vào dạng cầu mà nó còn đúng cho mọi bề mặt "blob" (là các đối tượng thỏa mãn tính trơn của bề mặt), miễn là chúng không có lỗ hổng (thí dụ hình vòng xuyến, hình vòng số 8 sẽ vi phạm điều kiện của định lý mặt cầu tóc - nhưng hình quả trám, hình trái bóng nhựa bị bóp xẹp lại thỏa mãn đòi hỏi của định lý).
Để có thể nghiên cứu các vấn đề mà chúng không hoàn toàn phụ thuộc vào hình dạng của đối tượng, người ta phải tách bạch rõ ra các tính chất nào sẽ phụ thuộc vào hình dạng. Và từ yêu cầu này phát sinh khái niệm về "tương đương tô pô". Trong các thí dụ trên, việc "không thể băng qua mỗi cây cầu chỉ một lần" có thể được áp dụng cho mọi cách xếp đặt của các cây cầu mà vẫn tương đương tô pô với các cây cầu nguyên thủy ở Königsberg; cũng như vậy, định lý mặt cầu tóc đúng cho mọi không gian tô pô tương đương với một hình cầu (như là hình quả trám chẳng hạn).
Nói cách khác, hai không gian là tương đương tô pô nếu tồn tại một phép đồng phôi giữa chúng. Trong trường hợp này, các không gian đó được gọi là đồng phôi và chúng được xét một cách chủ yếu như là có cùng các mục đích (nghiên cứu) của tô pô.
Một cách chính thức, một phép đồng phôi là một song ánh liên tục với hàm ngược cũng liên tục.
Một cách nôm na có thể cho thấy một ý nghĩa rõ hơn: Hai không gian là tương đương tô pô nếu người ta có thể biến dạng một không gian thành cái còn lại mà không phải cắt bỏ hay đục thủng các chi tiết ra và không phải dán các chi tiết lại với nhau. Dĩ nhiên, ở đây ta giả thiết "vật" (không gian) bị biến dạng có khả năng "siêu dẻo". Do vậy, việc nói đùa rằng nhà tô pô học không thể phân biệt được một vòng xuyến và cái ly có quai là vì cái ly có thể bị nặn bóp để trở thành hình vòng xuyến.
Một bài tập đơn giản về tương đương tô pô chia 10 chữ số Ả Rập, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, thành các lớp có hình dạng tương đương nhau về mặt tô pô. Lớp thứ nhất bao gồm {1,2,3,5,7}; hình dạng các chữ số này không có lỗ hổng. Lớp thứ hai là {0,4,9,6}; hình dạng các chữ số này có đúng 1 lỗ hổng. Và lớp thứ 3 chỉ có một phần tử duy nhất {8} có tới hai lỗ hổng.
Toán học tô pô[sửa | sửa mã nguồn]
Để hiểu được tô pô theo góc độ toán học, có thể phải dùng đến hai khái niệm tập hợp và ánh xạ.
Cho một tập hợp X ≠ {\displaystyle \emptyset }📷 và họ t các tập hợp con của X. Họ t được gọi là tô pô trên X nếu:
{\displaystyle \emptyset }📷 {\displaystyle \in }📷 t, X {\displaystyle \in }📷 t: họ t bao gồm cả X và cả tập hợp rỗng.
Hợp một họ bất kỳ các phần tử của t là một phần tử của t.
Giao của một họ hữu hạn các phần tử của t là một phần tử của t.
Cặp (X,t) khi ấy được gọi là một không gian tô pô, ta có thể ghi tắt X mà không cần ghi đầy đủ là (X,t). Tập {\displaystyle \emptyset }📷 không phải là không gian tôpô.
Một số định lý tổng quát về tô pô[sửa | sửa mã nguồn]
Mọi khoảng đóng trong R có chiều dài hữu hạn là compact. Rộng hơn: Một tập hợp trong R n là compact nếu và chỉ nếu nó đóng và bị chặn. (Xem thêm Định lý Heine-Borel)
Ảnh liên tục của một không gian compact là compact.
Định lý Tychonoff: Tích của các không gian compact là compact.
Mọi dãy điểm trong một không gian mêtric compact có dãy con hội tụ.
Mọi khoảng trong R là liên thông.
Ảnh liên tục của một không gian liên thông (connected space) là liên thông.
Mọi không gian mêtric là không gian Hausdorff, thì cũng là không gian chuẩn tắc và parcompact.
Định lý mêtric hoá cung cấp điều kiện cần và đủ cho một tô pô để trở thành một không gian mêtric.
Định lý mở rộng Tietze: Trong một không gian chuẩn tắc, mọi hàm có giá trị thực liên tục xác định trên một không gian con đóng đều có thể mở rộng thành một hàm liên tục xác định trên toàn bộ không gian đó.
Định lý phạm trù Baire: Nếu X là một không gian metric đủ hay là một không gian Hausdorff compact địa phương, thì hội đếm được của các tập không đâu trù mật có phần trong là tập trống.
Mọi không gian đường liên thông, đường liên thông địa phương, và đơn liên bán địa phương đều có một phủ phổ dụng.
LÀM SAO ĐỂ BIẾT MỘT HÒN ĐÁ LÀ THIÊN THẠCH ? Nếu đặt trước mắt bạn một đống đá và sắt cục, bạn có phân biệt được hòn nào là thiên thạch, hòn nào là đá hay sắt tự nhiên không? Chẳng khó lắm đâu. Để ý một chút bạn sẽ thấy thiên thạch có lớp vỏ mỏng và những rãnh không khí rất đặc trưng. Khi bay vào bầu khí quyển, thiên thạch cọ xát với không khí nên bề mặt bị nóng lên mấy nghìn độ, và chảy thành nước. Sau đó, khi nguội dần, bề mặt nóng chảy này đóng lại thành một lớp vỏ mỏng gọi là lớp vỏ nóng chảy...
Đọc tiếp
LÀM SAO ĐỂ BIẾT MỘT HÒN ĐÁ LÀ THIÊN THẠCH ?
Nếu đặt trước mắt bạn một đống đá và sắt cục, bạn có phân biệt được hòn nào là thiên thạch, hòn nào là đá hay sắt tự nhiên không? Chẳng khó lắm đâu. Để ý một chút bạn sẽ thấy thiên thạch có lớp vỏ mỏng và những rãnh không khí rất đặc trưng.
Khi bay vào bầu khí quyển, thiên thạch cọ xát với không khí nên bề mặt bị nóng lên mấy nghìn độ, và chảy thành nước. Sau đó, khi nguội dần, bề mặt nóng chảy này đóng lại thành một lớp vỏ mỏng gọi là lớp vỏ nóng chảy, thường chỉ dày độ 1mm, màu nâu hoặc nâu đen.
Trong quá trình lớp vỏ này nguội dần, không khí thổi qua bề mặt nó và để lại những vết hằn rõ, gọi là các rãnh không khí, trông giống như vết ngón tay để lại khi ta nắm bột mì. Lớp vỏ nóng chảy và những rãnh không khí là đặc điểm chủ yếu của thiên thạch. Nếu thấy tảng đá hay cục sắt nào có các đặc điểm trên, thì có thể khẳng định nó là thiên thạch.
Một số thiên thạch rơi xuống đất lâu ngày, bị mưa nắng phong hóa làm bong mất lớp vỏ cứng. Trường hợp đó, khó nhận ra các rãnh không khí, nhưng đã có cách khác để nhận ra chúng. Thiên thạch đá trông rất giống đá trên Trái Đất, nhưng với cùng thể tích, bạn sẽ thấy nó nặng hơn nhiều. Chúng thường chứa một lượng sắt nhất định, có từ tính, dùng nam châm thử là biết ngay. Ngoài ra, quan sát kĩ mặt cắt của thiên thạch đá, bạn sẽ thấy trong đó có rất nhiều hạt tròn nhỏ, đường kính 1 - 3 mm. 90% thiên thạch đá đều có những hạt tròn nhỏ như vậy.
Thành phần chử yếu của thiên thạch đá là sắt và niken, trong đó sắt chiếm khoảng 90%, niken 4 - 8%. Lượng niken trong sắt tự nhiên trên Trái Đất không nhiều như vậy. Nếu mài nhẵn mặt cắt của thiên thạch rồi dùng axit nitric bôi vào, sẽ xuất hiện những vết rỗ rất đặc biệt, giống như các ô hoa.
Đó là vì thành phần các chất trong thiên thạch sắt phân bố không đều, chỗ nhiều chỗ ít niken. Chỗ chứa nhiều niken khó bị axit ăn mòn và ngược lại, tạo nên các đường vân. Đây cũng là một cách để nhận biết thiên thạch.
LÀM SAO ĐỂ BIẾT MỘT HÒN ĐÁ LÀ THIÊN THẠCH ?Nếu đặt trước mắt bạn một đống đá và sắt cục, bạn có phân biệt được hòn nào là thiên thạch, hòn nào là đá hay sắt tự nhiên không? Chẳng khó lắm đâu. Để ý một chút bạn sẽ thấy thiên thạch có lớp vỏ mỏng và những rãnh không khí rất đặc trưng.Khi bay vào bầu khí quyển, thiên thạch cọ xát với không khí nên bề mặt bị nóng lên mấy nghìn độ, và chảy thành nước. Sau đó, khi nguội dần, bề mặt nóng chảy này đóng lại thành một lớp vỏ mỏng gọi là lớp vỏ nóng chảy,...
Đọc tiếp
LÀM SAO ĐỂ BIẾT MỘT HÒN ĐÁ LÀ THIÊN THẠCH ?
Nếu đặt trước mắt bạn một đống đá và sắt cục, bạn có phân biệt được hòn nào là thiên thạch, hòn nào là đá hay sắt tự nhiên không? Chẳng khó lắm đâu. Để ý một chút bạn sẽ thấy thiên thạch có lớp vỏ mỏng và những rãnh không khí rất đặc trưng.
Khi bay vào bầu khí quyển, thiên thạch cọ xát với không khí nên bề mặt bị nóng lên mấy nghìn độ, và chảy thành nước. Sau đó, khi nguội dần, bề mặt nóng chảy này đóng lại thành một lớp vỏ mỏng gọi là lớp vỏ nóng chảy, thường chỉ dày độ 1mm, màu nâu hoặc nâu đen.
Trong quá trình lớp vỏ này nguội dần, không khí thổi qua bề mặt nó và để lại những vết hằn rõ, gọi là các rãnh không khí, trông giống như vết ngón tay để lại khi ta nắm bột mì. Lớp vỏ nóng chảy và những rãnh không khí là đặc điểm chủ yếu của thiên thạch. Nếu thấy tảng đá hay cục sắt nào có các đặc điểm trên, thì có thể khẳng định nó là thiên thạch.
Một số thiên thạch rơi xuống đất lâu ngày, bị mưa nắng phong hóa làm bong mất lớp vỏ cứng. Trường hợp đó, khó nhận ra các rãnh không khí, nhưng đã có cách khác để nhận ra chúng. Thiên thạch đá trông rất giống đá trên Trái Đất, nhưng với cùng thể tích, bạn sẽ thấy nó nặng hơn nhiều. Chúng thường chứa một lượng sắt nhất định, có từ tính, dùng nam châm thử là biết ngay. Ngoài ra, quan sát kĩ mặt cắt của thiên thạch đá, bạn sẽ thấy trong đó có rất nhiều hạt tròn nhỏ, đường kính 1 - 3 mm. 90% thiên thạch đá đều có những hạt tròn nhỏ như vậy.
Thành phần chử yếu của thiên thạch đá là sắt và niken, trong đó sắt chiếm khoảng 90%, niken 4 - 8%. Lượng niken trong sắt tự nhiên trên Trái Đất không nhiều như vậy. Nếu mài nhẵn mặt cắt của thiên thạch rồi dùng axit nitric bôi vào, sẽ xuất hiện những vết rỗ rất đặc biệt, giống như các ô hoa.
Đó là vì thành phần các chất trong thiên thạch sắt phân bố không đều, chỗ nhiều chỗ ít niken. Chỗ chứa nhiều niken khó bị axit ăn mòn và ngược lại, tạo nên các đường vân. Đây cũng là một cách để nhận biết thiên thạch.
“Trong truyền thuyết có một loài chim vượt qua rừng rậm, bởi vì không có chân, nên nó đành phải không ngừng, không ngừng vỗ cánh bay. Khi mệt mỏi, cũng chỉ có thể nghỉ ngơi trong gió. Loài chim không chân cả đời chỉ có thể dừng chân một lần, đó chính là lúc nó chết đi”.“Anh vẫn luôn kiêu ngạo cho rằng, người phụ nữ mà mình cả đời thương yêu nhất định sẽ không thể nào là người phụ nữ ngốc nghếch như em”.“Đáng tiếc chất độc trên thế gian này không nhất định đều là nha phiến, rất nhiều thứ nếu chún...
Đọc tiếp
“Trong truyền thuyết có một loài chim vượt qua rừng rậm, bởi vì không có chân, nên nó đành phải không ngừng, không ngừng vỗ cánh bay. Khi mệt mỏi, cũng chỉ có thể nghỉ ngơi trong gió. Loài chim không chân cả đời chỉ có thể dừng chân một lần, đó chính là lúc nó chết đi”.
“Anh vẫn luôn kiêu ngạo cho rằng, người phụ nữ mà mình cả đời thương yêu nhất định sẽ không thể nào là người phụ nữ ngốc nghếch như em”.
“Đáng tiếc chất độc trên thế gian này không nhất định đều là nha phiến, rất nhiều thứ nếu chúng ta đã nghiện rồi thì đều là chất độc cả, ví dụ như trà, rượu hay như em…”
“Anh đã từng nỗ lực hết mình để “cai” em, chỉ đáng tiếc, anh dùng khoảng thời gian năm năm đằng đẵng mà vẫn chẳng thể nào làm được, bởi vì chất độc của em đã thâm căn cố đế, thấm sâu vào từng mạch máu, tế bào trên cơ thể anh”.
“Anh nghĩ bản thân mình cũng giống như loài chim không chân kia, cả cuộc đời này, trừ phi chết đi thì mới có thể thôi không yêu em nữa, mới có thể giải được chất độc của em”.
“Đi qua biển lớn chẳng màng suối.
Mây ngoài Vu Sơn chẳng đáng nhìn!”
“Chi Chi, anh yêu em…”