Kéo dài mãi mãi nghĩa là không có điểm dừng,nghĩa là:
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+.....\)\(=\)\(\frac{1+2+4+8+16+........}{\infty}\)\(=\)\(\frac{\infty}{\infty}\)
Không có điểm dừng chẳng khác gì dãy số tự nhiên và bằng N hoặc \(\infty\)cả.
Chúng ta có thể đặt biểu thức trên bằng S, lấy số cuối là 1/infinity và tính giá trị của nó bằng 2S-S=1-1/infinity.
Gọi \(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...\)
Ta có :
\(\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...\right)\)
\(\frac{1}{2}S=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+...\)
\(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}S\)
\(S-\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}\Rightarrow S=1\)
Vậy nếu tổng trên kéo dài mãi thì tổng trên bằng 1.
