Giải:
Chia phương trình cho \(x^2\) ta có:
\(x^2+\frac{1}{x^2}+ax+\frac{b}{x}+2=0\left(1\right)\)
\(\left(1\right)-\left(ax+\frac{b}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}+2\Leftrightarrow\left(ax+\frac{b}{x}\right)^2=\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)^2\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
\(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
Vậy \(\left(ax+\frac{b}{x}\right)^2\le\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(a^2+b^2\right)\) nên \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)^2\)
Đặt \(x^2+\frac{1}{x^2}=t\left(t\ge2\right)\) nên \(a^2+b^2\ge\frac{\left(t+2\right)^2}{t}=t+\frac{4}{t}+4\ge2\sqrt{t.\frac{4}{t}}+4=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^2+\frac{1}{x^2}=2\Leftrightarrow x=1\) và \(a=b\) sẽ tìm ra a
Bạn Ngu Ngu Ngu giải nhầm bài rồi nha b
Cho x là nghiệm của pt. sd C-S dẫn đén
\(a^2+b^2\ge\frac{\left(x^4+2x^2+1\right)^2}{x^2+x^6}\ge8\)
bởi vì BDT cuối cùng tương đương với \(\left(x^2-1\right)^4\ge0\)
bn xem link này nhé
https://diendantoanhoc.net/topic/171130-violympic-l%E1%BB%9Bp-9-v%C3%B2ng-17-n%C4%83m-2016-2017/
Tại sao bạn Ngu Ngu Ngu khi chia cho x^2 lại ra biểu thức trên?
