\(\left(\Sigma\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\right)\left(2abc+\Sigma a^2\left(b+c\right)\right)=\Sigma\frac{a\left(b+c\right)^2+\left(a^2+bc\right)\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)^2}=\Sigma a+\Sigma\frac{a^2+bc}{b+c}\)
Mặt khác ta có :
\(\left(\Sigma\frac{a^2+bc}{b+c}\right)\left(\Sigma a\right)=\Sigma\frac{a^3+abc}{b+c}+\Sigma\left(a^2+bc\right)\) ( nhân vào xong tách )
\(=\Sigma\frac{a^3+abc}{b+c}-\Sigma a^2+\Sigma\left(2a^2+bc\right)=\Sigma\frac{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{b+c}+\Sigma\left(2a^2+bc\right)\) ( * )
Theo BĐT Vornicu Schur chứng minh được ( * ) không âm.
do đó : \(\Sigma\frac{a^2+bc}{b+c}\ge\frac{\Sigma\left(2a^2+bc\right)}{\Sigma a}\)
Theo đề bài , cần chứng minh : \(\left(\Sigma ab\right)\left(\Sigma\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Kết hợp với dòng đầu tiên t cần c/m :
\(\left(\Sigma ab\right)\left(\Sigma a+\frac{\Sigma\left(2a^2+bc\right)}{\Sigma a}\right)\ge\frac{9}{4}\left(2abc+\Sigma a^2\left(b+c\right)\right)\)
Quy đồng lên, ta được :
\(\Sigma a^3\left(b+c\right)\ge2\Sigma\left(ab\right)^2\Leftrightarrow\Sigma ab\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)đpcm
cách này cũng được mà. có khi dễ hiểu hơn cách kia ấy
Ok. Iran TST chứng minh đc bằng nhiều cách mà. Sos, dồn biến, biến đổi tương đương.
Coi như góp vào 1 cách giải cho bđt này. Thx
Mình là ai thì có gì không nào. Tôi bình luận và cảm ơn bạn vì đã đóng góp một method mới nhưng lại hỏi người khác như vây ơ........
\(t=\frac{a+b}{2}\)
Khi đó
\(f\left(a,b,c\right)=\frac{1}{4t^2}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}\)
\(=\frac{1}{4t^2}+\frac{a^2+b^2+2c\left(a+b\right)+2c^2}{\left(c^2+ab+bc+ac\right)^2}\)
Mà \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=2t^2\)
\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=t^2\)
=> \(f\left(a,b,c\right)\ge\frac{1}{4t^2}+\frac{2t^2+4ct+2c^2}{\left(c^2+t^2+2ct\right)^2}=\frac{1}{4t^2}+\frac{2}{\left(c+t\right)^2}=f\left(t,t,c\right)\)
\(t^2+2tc=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow t^2-ab=c\left(a+b-2t\right)\)
Giả sử \(t^2< ab\Rightarrow2t>a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow t^2>ab\)(vô lí với giả sử)
Vậy giả sử là sai hay \(a+b\ge2t\ge2\sqrt{ab}\ge2c\).
Từ \(\left(t+c\right)^2=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
f(a;b;c) - f(t;t;c) \(=-\frac{\left(a+b-2t\right)\left(2t+a+b\right)}{4t^2\left(a+b\right)^2}+\frac{\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2-2\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{\left[\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left[\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2}-\frac{\left(a+b-2t\right)\left(2t+a+b\right)}{\left[2t\left(a+b\right)\right]^2}\) . BĐT đến đây đảo chiều?
=> bài làm trên đó sai hay là tôi làm sai nhỉ:))
trên olm này tốt nhất là đừng đưa mấy bài kiểu tầm kể quốc gia quốc tế này có ai hiểu đâu . Trên này toàn hỏi mấy bài toán linh tinh
