Do tam giác ABC vuông tại B \(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\(\Rightarrow AC\) là đường kính \(\Rightarrow AC\perp\Delta_1\) đồng thời \(AB\perp\Delta_2\) (AB vuông góc BC)
Gọi \(A\left(3;a\right)\) , đường thẳng AB vuông góc \(\Delta_2\) nên nhận (1;1) là 1 vtpt
Phương trình AB:
\(1\left(x-3\right)+1\left(y-a\right)=0\Leftrightarrow x+y-a-3=0\)
B là giao điểm AB và \(\Delta_2\) nên tọa độ thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+3=0\\x+y-a-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2}+3\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(\dfrac{a}{2}-3;3-\dfrac{a}{2}\right)\) \(\Rightarrow AB=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}-3\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-3\right)^2}=\sqrt{2}\left|\dfrac{a}{2}-3\right|\)
Tương tự ta có pt AC có dạng:
\(0\left(x-3\right)+1\left(y-a\right)=0\Leftrightarrow y-a=0\)
Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+3=0\\y-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(a-3;a\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{BC}=\left(\dfrac{a}{2}-3;\dfrac{a}{2}-3\right)\)
\(\Rightarrow BC=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}-3\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-3\right)^2}=\sqrt{2}\left|\dfrac{a}{2}-3\right|\)
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\left(\dfrac{a}{2}-3\right)^2=4\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=10>3\left(loại\right)\\a=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A\left(3;2\right)\Rightarrow C\left(-1;3\right)\) \(\Rightarrow AC=\sqrt{\left(-1-3\right)^2+\left(3-2\right)^2}=\sqrt{17}\)
\(\Rightarrow R=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}\)
Gọi I là trung điểm AC \(\Rightarrow\) I là tâm đường tròn, \(I\left(1;\dfrac{5}{2}\right)\)
Phương trình đường tròn:
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{17}{4}\)
