a: Xét (I) có
ΔHDB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHDB vuông tại D
=>HD\(\perp\)AB tại D
Xét (K) có
ΔCEH nội tiếp
CH là đường kính
Do đó: ΔCEH vuông tại E
=>HE\(\perp\)AC tại E
Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
c: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AC=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
=>\(AH=\dfrac{3\cdot4}{5}=2,4\left(cm\right)\)
ADHE là hình chữ nhật
=>DE=AH
mà AH=2,4cm
nên DE=2,4cm
ADHE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{EDH}=\widehat{EAH}\)
mà \(\widehat{EAH}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{HAB}\right)\)
nên \(\widehat{EDH}=\widehat{ABC}\)
ADHE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{DEH}=\widehat{DAH}\)
mà \(\widehat{DAH}=\widehat{ACB}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)
nên \(\widehat{DEH}=\widehat{ACB}\)
\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}=\widehat{KHE}+\widehat{ACB}\)
\(=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
=>KE\(\perp\)ED tại E(3)
\(\widehat{EDI}=\widehat{EDH}+\widehat{IDH}=\widehat{IHD}+\widehat{HBA}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
=>ED\(\perp\)DI tại D(4)
Từ (3),(4) suy ra KEDI là hình thang vuông
=>\(S_{KEDI}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(KE+DI\right)\cdot ED\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot2,4\cdot\left(\dfrac{BH}{2}+\dfrac{CH}{2}\right)=1,2\cdot\dfrac{BC}{2}=1,2\cdot\dfrac{5}{2}=5\cdot0,6=3\left(cm^2\right)\)
