a,Ý 1:\(14^{14^{14}}=7^{14^{14}}.2^{14^{14}}\)
Dễ chứng minh \(14^{14}⋮4\) và \(14^{14}\) chia 20 dư 16 nên đặt \(14^{14}=4k=20l+16\)
Ta có:\(14^{14^{14}}=7^{4k}.2^{20l+16}=\left(7^4\right)^k.\left(2^{20}\right)^l.2^{16}\)\(=2401^k.1048576^l.65536\)
\(\equiv\left(01\right)^k.\left(76\right)^l.36=01.76.36=2736\equiv36\)(mod 100)
Ý 2:Để ý:\(5^7\equiv5\)(mod 180).Từ đó chứng minh được :\(5^{121}=5^{98}.5^{23}\equiv25.5^5=1625\equiv5\)(mod 180)
Đặt:\(5^{121}=180m+5\).Khi đó:\(17^{5^{121}}=17^{180m+5}=\left(17^{180}\right)^m.17^5\equiv\left(01\right)^m.57=01.57=57\)(mod 100)
Có được :\(17^{180}\equiv01\)(mod 100) là do:\(17^3\equiv13\)(mod 100) mà \(13^6\equiv9\) nên \(17^{18}\equiv13^6\equiv9\)(mod 100)
Lại có:\(9^{10}\equiv01\)(mod 100) \(\Rightarrow17^{180}\equiv9^{10}\equiv01\)(mod 100)
b,Ta có:\(2^{20}=16^5\equiv76\)(mod 100) nên \(2^{2000}=\left(2^{20}\right)^{100}\equiv76^{100}\equiv76\)(mod 100)
\(\Rightarrow2^{2006}=2^{2000}.2^6\equiv76.64=4864\equiv64\)(mod 100)
Đặt \(2^{2006}=100t+64\) ta được \(3^{2^{2006}}=3^{100t+64}=\left(3^{100}\right)^t.3^{64}\equiv\left(001\right)^t.3^{64}=3^{64}\)(mod 1000)
Lại có:\(3^{10}\equiv49\)(mod 1000)\(\Rightarrow3^{60}=\left(3^{10}\right)^6\equiv49^6\equiv201\)(mod 1000)
\(\Rightarrow3^{64}=3^{60}.81\equiv81.201=16281\equiv281\)( mod 1000)
\(14^{14^{14}}⋮4\)(3)
\(14^{14}\equiv1\left(mod5\right)\)
Đặt 1414=5k+1( vì 14^14 chẵn nên k lẻ)
Khi đó \(14^{14^{14}}=14^{5k+1}\)
\(14^5\equiv-1\left(mod25\right)\Leftrightarrow\left(14^5\right)^k.14\equiv-14\left(mod25\right)\text{vì }k\text{ lẻ}\)
\(\Leftrightarrow14^{14^{14}}\text{chia 25 dư 11}\)=> hai CSTC của 14^14^14 chia 25 dư 11(1)
Mà \(14^{14^{14}}\text{có CSTC là 6 }\)(2)
ta thấy để tm 3 trường hợp trên chỉ có 36
Vậy..
p/s: cách này ko hay lắm :(((((
Boul đẹp trai_tán gái đổ 100%: Yêu cầu là tìm hai chữ số tận cùng lận mà?
... ơ hay là mình nhìn ko kỹ bài bạn nhỉ?
a)
Cách hơi cùi bắp. Em xem thử nhé!
làm ý 2: \(17^{5^{121}}\)
C1:
\(17^{40}=17^{4.5.2}\equiv21^{5.2}\equiv1^2\equiv1\left(mod100\right)\)
Bây giờ chúng ta sẽ phân tích:
\(5^{121}\equiv a\left(mod40\right)\)
Ta có: \(5^{121}=5^{120}.5=5^{12.5.2}.5\equiv25^{5.2}.5\equiv25^2.5\equiv5\left(mod40\right)\)
( hoặc có nhận xét : 5 mũ lẻ đồng dư với 5 mod 40, 5 mũ chẵn đồng dư với 25 mod 40. Tự chứng minh nhé!:). Không chứng minh đc thì làm như trên)
=> \(5^{121}=40t+5\)
=> \(17^{5^{121}}=17^{40t+5}=17^{40.t}.17^5\equiv1.17^5\equiv57\left(mod100\right)\)
C2: tương tự như cách 1 nhưng mà chọn mod khác 40 mà thôi.
\(17^{20}=17^{5.4}\equiv57^4\equiv1\left(mod100\right)\)
Bây giờ chúng ta phân tích tiếp:
\(5^{121}\equiv5\left(mod20\right)\)
( 5 ^ k đồng dư vs 5 mod 20 với mọi k >2. Tự chứng minh. Không chứng minh đc thì tập phân tích như cách 1)
Đặt: \(5^{121}=20t+5\)
=> \(17^{5^{121}}\equiv17^{20t+5}\equiv17^5\equiv57\left(mod100\right)\)
Như thế từ hai cách đều tìm đc hai chữ số tận cùng là 57 :). Tham khảo nhé!
Quên mất chưa nói hướng làm cho em:
\(a^b\equiv c\)(mod d)
với trường hợp: (a, d)=1
VD câu b: Tìm 3 chữ số tận cùng tất nhiên là dùng mod 1000
\(3^{2^{2006}}\equiv r\left(mod1000\right)\)
Nhớ là : (3; 1000)=1
=> đi mò x với : \(3^x\equiv1\left(mod1000\right)\). Chắn chắn là có :)
=> mò đc x=100 hoặc 400 , Tại sao lại mò đc ?. Dùng máy tinh và Thử lấy ước của 1000 xem sao:). Nếu không có thì thôi nghỉ đi đừng làm cách này nữa tự tìm cách khác . Hoặc tìm đọc Toán về số học định lí Fecma, hàm Euler .....Thế tìm ở đâu? Trên mạng có.
Ta có: \(3^{100}=3^{20.5}\equiv401^5\equiv401^3.401^2\equiv201.801\equiv1\left(mod1000\right)\)
Tiếp tục tìm a: \(2^{2006}\equiv a\left(mod100\right)\)
Ta có: \(2^{2006}=2^{20.5.5.4}.2^6\equiv76^{5.5.4}.64\equiv76.64\equiv64\left(mod100\right)\)
Đặt: \(2^{2006}=100t+64\)
=> \(3^{2^{2006}}\equiv3^{100t+64}\equiv3^{100t}.3^{64}\equiv3^{20+20+20+4}\equiv401.401.401.81\equiv281\left(mod1000\right)\)
a) \(14^{14^{14}}\)
Ta có: 100=25.4
\(14^{14^{14}}\equiv0\left(mod4\right)\)(1)\(14^{14^{14}}\equiv36\left(mod25\right)\)
\(14^{14^{14}}\equiv a\left(mod25\right)\). Đi tìm a.
Ta có: \(14^{20}\equiv14^{5.4}\equiv24^4\equiv1\left(mod25\right)\)
\(14^{14}=14^{7.2}\equiv4^2\equiv16\left(mod20\right)\)
=> Đặt: \(14^{14}=20t+16\)
Ta có: \(14^{14^{14}}=14^{20t+16}=14^{20t}.14^{16}\equiv14^{16}\equiv14^{8.2}\equiv6^2\equiv11\left(mod25\right)\)
=> \(14^{14^{14}}-11\equiv0\left(mod25\right)\Rightarrow14^{14^{14}}-11-25\equiv0\left(mod25\right)\)
=> \(14^{14^{14}}-36\equiv\left(mod25\right)\)(2)
Từ (1) => \(14^{14^{14}}-36\equiv0\left(mod4\right)\)(3)
Từ (2), (3) và (25,4)=1
=> \(14^{14^{14}}-36\equiv0\left(mod25.4\right)\Leftrightarrow14^{14^{14}}\equiv36\left(mod100\right)\). Ý tưởng sau khi đọc cách làm của bạn Boul:)
