1.
- Với \(m=0\Rightarrow\) hàm trở thành \(z=0\) không có cực trị
- Với \(m\ne0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}z'_x=6mx^2+6my-18m=0\\z'_y=-6my+6mx+6m=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y-3=0\\-y+x+1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y-3=0\\y=x+1\end{matrix}\right.\)
Thế y từ pt dưới lên pt trên và bấm máy ta được các điểm dừng:
\(M\left(-2;-1\right)\) ; \(N\left(1;2\right)\)
\(z''_{xx}=12mx\)
\(z''_{xy}=6m\)
\(z''_{yy}=-6m\)
- Tại \(M\left(-2;-1\right)\) ta có: \(A=-24m\) ; \(B=6m\) ; \(C=-6m\)
\(B^2-AC=36m^2+144m^2=-108m^2< 0\) ; \(\forall m\ne0\)
\(\Rightarrow M\left(-2;-1\right)\) là 1 cực trị
+ Nếu \(m< 0\Rightarrow A=-24m>0\Rightarrow M\) là cực tiểu
+ Nếu \(m>0\Rightarrow A=-24m< 0\Rightarrow M\) là cực đại
- Tại \(N\left(1;2\right)\) ta có: \(A=12m\) ; \(B=6m\) ; \(C=-6m\)
\(B^2-AC=36m^2+72m^2=108m^2>0\) ; \(\forall m\ne0\)
\(\Rightarrow N\left(1;2\right)\) không phải là cực trị
Kết luận:
- Với \(m=0\) hàm không có cực trị
- Với \(m< 0\) hàm đạt cực tiểu tại \(M\left(-2;-1\right)\)
- Với \(m>0\) hàm đạt cực đại tại \(M\left(-2;-1\right)\)
2.
a.
Dạng tích phân kép hình chữ nhật khá đơn giản, cứ tách đôi tích phân rồi tính lần lượt theo từng biến là được (khi tính theo biến này thì coi biến kia là hằng số)
\(I=\int\limits^3_1dx\int\limits^8_1\left(2x^3y+6mxy\right)dy=\int\limits^3_1\left(\left(x^3y^2+3mxy^2\right)|^8_1\right)dx\)
\(=\int\limits^3_1\left(63x^3+189mx\right)dx=\left(\dfrac{63}{4}x^4+\dfrac{189m}{2}x^2\right)|^3_1\)
\(=\dfrac{63}{4}.3^4+\dfrac{189m}{2}.3^2-\dfrac{63}{4}-\dfrac{189m}{2}=1260-756m\)
2b.
Có 2 cách tính: biểu diễn y theo x hoặc x theo y.
Ở đây rõ ràng biểu diễn y theo x dễ hơn (vì biểu diễn x theo y sẽ xuất hiện căn thức \(y=2-x^2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2-y}\) phức tạp)
\(\left\{{}\begin{matrix}y=2-x^2\\x-y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2-x^2\\y=x\end{matrix}\right.\)
Pt hoành độ giao điểm: \(2-x^2=x\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1;y=1\\x=-2;y=-2\end{matrix}\right.\)
Do đó miền D có dạng: \(D=\left\{\left(x;y\right):-2\le x\le1;x\le y\le2-x^2\right\}\)
(Muốn xác định x và \(2-x^2\) cái nào là cận trên, cái nào là cận dưới của hàm y thì chỉ cần lấy 1 giá trị x bất kì nằm giữa -2 và 1 rồi thay vào \(y=x\) và \(y=2-x^2\) sau đó so sánh, cái nào cho kết quả lớn hơn sẽ là cận trên, ví dụ lấy \(x=0\) thay vào \(y=x\) được \(y=0\), thay vào \(y=2-x^2\) được 2, do 2>0 nên \(2-x^2\) là cận trên)
\(I=\int\limits^1_{-2}dx\int\limits^{2-x^2}_x\left(mx+2y\right)dy=\int\limits^1_{-2}\left(\left(mxy+y^2\right)|^{2-x^2}_x\right)dx\)
\(=\int\limits^1_{-2}\left[mx\left(2-x^2\right)+\left(2-x^2\right)^2-mx.x-x^2\right]dx\)
\(=\int\limits^1_{-2}\left(x^4-mx^3-\left(m+5\right)x^2+2mx+4\right)dx\)
\(=\left(\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{mx^4}{4}-\dfrac{\left(m+5\right)x^3}{3}+mx^2+4x\right)|^1_{-2}\)
\(=-\dfrac{9m}{4}+\dfrac{18}{5}\)
Bài 3 khá là phức tạp và dài dòng (có tới 3 trường hợp cần biện luận: \(0< m< 2\) ; \(m=2\) và \(m>2\)), em có cần không nhỉ? Vì đổi thứ tự tích phân thì luôn cần vẽ đồ thị để xác định miền, 3 trường hợp vẽ 3 đồ thị và phân miền khá lâu đó.
