Ta có :
2n+2017 là số chính phương lẻ => 2n+2017 chia 8 dư 1
=> 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4
=> n+2019 chia ch 4 dư 3
mà số chính phương chia cho 4 dư 0,1
=> không tồn tại n
2n + 2017 là số chính phương lẻ
=> 2n + 2017 chia 8 dư 1 ( do scp lẻ chia 8 dư 1)
=> 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4
=> n + 2019 chia 4 dư 3
Mà scp chia 4 dư 0 hoặc 1
=> n + 2019 ko là scp
Vậy ko tồn tại STN n thoả mãn
Đặt \(\hept{\begin{cases}2n+2017=a^2\\n+2019=b^2\end{cases}\left(a,b\inℕ^∗\right)}\)
Dễ thấy : \(a^2\) là số chính phương lẻ, mà số chính phương lẻ chia 8 luôn dư 1. ( Điều này sẽ được chứng minh ở cuối bài làm ).
\(\Rightarrow2n+2017\equiv1\left(mod8\right)\)
\(\Rightarrow2n⋮8\) \(\Rightarrow n⋮4\)
\(\Rightarrow n+2019:4\) dư 3 hay \(\Rightarrow b^2:4\) dư 3
Lại có : một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1. ( Điều này sẽ được chứng minh ở cuối bài làm )
\(\Rightarrow n+2019\) không phải là số chính phương.
Do đó không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn đề.
*) Chứng minh bài toán phụ :
+) Số chính phương lẻ chia 8 dư 1 :
Ta có : \(\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1\) chia 8 dư 1.
+) Một số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1.
Ta có : \(\left(2k\right)^2=4k^2⋮4\) nên khi chia 4 có số dư là 0.
\(\left(2k+1\right)^2=4k\left(k+1\right)+1\) chia 4 dư 1.
Gọi ƯC(2n+2017;2n+2019) là d. ĐK d\(\ne\)0; d\(\in\)N*
\(\Rightarrow2n+2017⋮d\)và \(2n+2019⋮d\)
\(\Rightarrow2n+2019-\left(2n+2017\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2n+2019-2n-2017⋮d\)
\(\Rightarrow\left(2n-2n\right)+2019-2017⋮d\)
\(\Rightarrow2⋮d\)
\(\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)\)
\(\Rightarrow d\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
còn phần dưới bạn tự làm nhé
mà bài này là lớp 6
2n+2017 là số chính phương lẻ
=> 2n+2017 chia 8 dư 1 (do scp lẻ chia 8 dư 1)
=> 2n chia hết cho 8
=> n chia hết cho 4
=> n+2019 chia 4 dư 3
Mà scp chia 4 dư 0 hoặc 1
=> n+2019 không là scp
Vậy không có stn n thỏa mãn
