Từ \(\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)=3\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+3}=\sqrt{x^2+3}-x\)
Tương tự \(x+\sqrt{x^2+3}=\sqrt{y^2+3}-y\)
Cộng theo vế ta có: \(2\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow E=0\)
\(\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(x-\sqrt{x^2-3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x^2+3\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+3}=x-\sqrt{x^2+3}\) (1)
Tương tự \(x+\sqrt{x^2+3}=y-\sqrt{y^2+3}\) (2)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow x+y=0\)
\(\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\)(1)
Vì \(\sqrt{x^2+3}\ge\sqrt{x^2}=\left|x\right|\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+3}-x\ge0\)
Nhân cả 2 vế của (1) với \(\sqrt{x^2+3}-x\)ta được:
\(\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+3-x^2\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(\sqrt{x^2+3}-x\right)\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+3}=\sqrt{x^2+3}-x\)
\(\Rightarrow x+y=\sqrt{x^2+3}-\sqrt{y^2+3}\)(2)
Tương tự ta có: \(\sqrt{y^2+3}-y\ge0\)
Nhân cả 2 vế của (1) với \(\sqrt{y^2+3}-y\)ta được:
\(x+\sqrt{x^2+3}=\sqrt{y^2+3}-y\)
\(\Rightarrow x+y=\sqrt{y^2+3}-\sqrt{x^2+3}\)(3)
Cộng (2) với (3) ta được: \(2\left(x+y\right)=0\)\(\Leftrightarrow x+y=0\)
\(\Rightarrow E=x+y=0\)
