Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Pham Trong Bach

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên trên đoạn − 2017 ; 2017  để phương trình   x 2 − 1 log 2 x 2 + 1 − m 2 x 2 − 1 . log x 2 + 1 + m + 4 = 0  có đúng hai nghiệm x 1 , x 2  thỏa mãn 1 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ 3  

A. 4017

B. 4028

C. 4012

D. 4003.

Cao Minh Tâm
3 tháng 10 2019 lúc 18:26

Đáp án B

Điều kiện  x 2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ − 1 x ≥ 1 .

Phương trình đã cho tương đương với:

2 x 2 − 1 log 2 x 2 + 1 − 2 m 2 x 2 − 1 . log x 2 + 1 + 2 m + 8 = 0  

⇔ 2 x 2 − 1 . log x 2 + 1 2 − 2 m 2 x 2 − 1 . log x 2 + 1 + 2 m + 8 = 0 *

Đặt t = x 2 ≥ 1 , theo bài ra ta có 

1 ≤ x 1 < x 2 ≤ 3 ⇔ 1 ≤ x 1 2 < x 2 2 ≤ 9 ⇒ t ∈ 1 ; 9 .

Xét hàm số f t = 2 − t − 1 . log t + 1  trên đoạn 1 ; 9 .

Ta có f ' t = log t + 1 2 t − 1 + 2 t − 1 t + 1 . ln 10 > 0, ∀ ∈ 0 ; 9 ⇒  Hàm số f t  đồng biến trên đoạn 1 ; 9 . Khi đó f 1 ≤ f t ≤ 9  hay 0 ≤ f t ≤ 4 .

Đặt u = 2 x 2 − 1 . log x 2 + 1 ⇒ u ∈ 0 ; 4 . Khi đó phương trình (*) trở thành u 2 − 2 m . u + 2 m + 8 = 0 1 .

Nhận thấy u=1 không phải là nghiệm của phương trình (1). Với u ≠ 1  thì phương trình (1) tương đương với 

u 2 + 8 = 2 m u − 1 ⇔ 2 m = u 2 + 8 u − 1 2

Xét hàm số g u = u 2 + 8 u − 1  trên đoạn 0 ; 4 \ 1 .

Ta có g ' u = u 2 − 2 u − 8 u − 1 2 ; g ' u = 0 ⇔ u = 4 u = − 2 . Mà u ∈ 0 ; 4 \ 1  nên u=4.

Mặt khác, có g 0 = − 8 ; g 4 = 8 ; lim x → 1 − g u = − ∞ ; lim x → 1 + g u = + ∞ .

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán <=>Phương trình (2) có nghiệm duy nhất trên đoạn 0 ; 4 \ 1  . Suy ra  2 m ≥ 8 2 m ≤ − 8 ⇔ m ≥ 4 m ≤ − 4 .

 


Mặt khác m ∈ ℤ , m ∈ − 2017 ; 2017  nên suy ra 4 ≤ m ≤ 2017 − 2017 ≤ m ≤ − 4 .  

Vậy có tất cả 2017 − 4 + 1 + − 4 + 2017 + 1 = 4028  giá trị m nguyên thỏa mãn bài toán.


Các câu hỏi tương tự
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết