c1:Giả sử số số nguyên tố là hữu hạn thì ta xét số A bằng tích của tất cả các số nguyên tố đó cộng 1. Rõ ràng A nằm ngoài tập hợp các số nguyên tố (vì lớn hơn tất cả các số nguyên tố) nên nó không phải là số nguyên tố. Gọi B là ước số nhỏ nhất của A. Đến lượt B cũng không phải là số nguyên tố vì ta có thể thấy A không chia hết cho số nguyên tố nào (trong tập hợp hữu hạn các số nguyên tố, như đã giả thiết). Vậy B phải chia hết cho một số C. Số C này, dĩ nhiên là ước số của A, và nhỏ hơn B, mâu thuẫn. Tóm lại số số nguyên tố phải là vô hạn.
c2:đầu tiên chứng minh định lý sau:
-ước số tụ nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là một số nguyên tố
giả sử a là một số tự nhiên lớn hơn 1.Gọi p là ước số tự nhiên khác 1 của a, nếu a không là số nguyên tố thì vì p>1 nên nó phải là hợp số nghĩa là nó phải có một ước số p1, sao cho 1<p1<p.Nhưng khi đó p1 cũng là một ước số của a điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng p là ước số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của a.Vậy p phải là số nguyên tố
- bây giờ là phần chứng minh định lý có vô số số nguyên tố:
- giả sử tập hợp số nguyên tố T là hữu hạn và gồm các phần tử: p1,p2,p3,p4............pm ta lập tích của chúng và cộng 1 để được
- n=(p1.p2.p3.p4.........pm)+1
theo định lý trên(ước số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của n là một số nguyên tố p). p không thể là một trong các số p1,p2,p3,p4..........pm được vì n không chia hết cho các số đó.Vậy p phải nằm ngoài tập hợp T ,trái với giả thiết T gồm tất cả các số nguyên tố . vậy T không thể hữu hạn do đó nó vô hạn
