Question

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 5 x + 3 cos x . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là sai?

A. M + m = 0

B. Mm = -3

C. M - m =  2 3

D.  M m = 1

Answer 1

Ta có

sin 5 x ≤ sin 4 x ⇒ y ≤ sin 4 x + 3 cos x

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

1 - cos x 1 + cos x 1 + cos x = 1 2 2 - 2 cos x 1 + cos x 1 + cos x

≤ 1 2 2 - 2 cos x + ( 1 + cos x ) 2 3 3 = 32 27 < 3

⇒ 3 - 1 - cos x 1 + cos x 2 > 0 ⇒ 1 - cos x 3 - 1 - cos x 1 + cos x 2 ≥ 0 ⇒ 3 1 - cos x - sin 4 x ≥ 0 ⇔ sin 4 x + 3 cos x ≤ 3

M = maxy = 3 ⇔ cos(x) = 1

⇔ x = k 2 π ,   k ∈ ℤ

Ta lại có

y ≥ - sin 4 x + 3 cos x

Tương tự như trên, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

1 + cos x 1 - cos x 1 - cos x = 1 2 2 + 2 cos x 1 - cos x 2 ≥ 32 27 ≤ 3 ⇒ 3 - 1 + cos x 1 - cos x 2 > 0 ⇒ 1 + cos x 3 - 1 + cos x 1 - cos x 2 ⇔ sin 4 x + 3 cos x ≥ - 3 m = m i n y = - 3 ⇔ cos x = - 1 ⇔ x = k 2 π , k ∈ ℤ

Do đó M m = - 1 . Vì vậy, mệnh đề D sai.

Đáp án cần chọn là D