Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
kagamine rin len

gọi H là trực tâm tam giác ABC nhọn 3 đường cao AA1,BB1,CC1

CM a) \(\frac{AA1}{HA1}+\frac{BB1}{HB1}+\frac{CC1}{HC1}\ge9\)

       b) \(\frac{HA1}{HA}+\frac{HB1}{HB}+\frac{HC1}{HC}\ge\frac{3}{2}\)

Hoàng Ngọc Vân Huyền
5 tháng 8 2016 lúc 18:29

A B C A1 B1 C1 H x y z

Đặt AA1 = a , BB1 = b , CC1 = c , HA1 = x , HB1 = y , HC1 = z (với a,b,c,x,y,z > 0)

a) Đầu tiên , ta cần chứng minh : \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) .

Thật vậy : \(\frac{x}{a}=\frac{x.BC}{a.BC}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\)\(\frac{y}{b}=\frac{y.AC}{b.AC}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\)\(\frac{z}{c}=\frac{z.AB}{c.AB}=\frac{S_{ABH}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Ta có : \(\frac{AA_1}{HA_1}+\frac{BB_1}{HB_1}+\frac{CC_1}{HC_1}=\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right).1=\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right).\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)\)

\(\ge\left(1+1+1\right)^2=9\)(áp dụng bđt Bunhiacopxki)

Vậy ta có đpcm

b) Ta có : \(\frac{HA_1}{HA}+\frac{HB_1}{HB}+\frac{HC_1}{HC}=\frac{x}{a-x}+\frac{y}{b-y}+\frac{z}{c-z}=\frac{1}{\frac{a}{x}-1}+\frac{1}{\frac{b}{y}-1}+\frac{1}{\frac{c}{z}-1}\)

Áp dụng bđt \(\frac{m^2}{i}+\frac{n^2}{j}+\frac{p^2}{k}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{i+j+k}\)(bạn tự chứng minh)

Ta có : \(\frac{1^2}{\frac{a}{x}-1}+\frac{1^2}{\frac{b}{y}-1}+\frac{1^2}{\frac{c}{z}-1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)-3}\ge\frac{9}{9-3}=\frac{3}{2}\)

(Từ câu a. ta có \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge9\))

Vậy ta có đpcm

Ý Huỳnh
5 tháng 8 2016 lúc 11:24

Đúng hay sai:

\(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{59+2}}=\frac{\sqrt{89^{x3+8}}}{\sqrt[46]{78+1}}\)

x O          v" O

kagamine rin len
5 tháng 8 2016 lúc 18:49

dùng cô-si cho 3 số ngắn hơn đó


Các câu hỏi tương tự
Hàn Như Nguyệt
Xem chi tiết
Lê Nguyễn Hoàng Mỹ Đình
Xem chi tiết
In the dark beside the t...
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Duy
Xem chi tiết
Vũ Lê Hồng Nhung
Xem chi tiết
Minh Nguyễn Cao
Xem chi tiết
Bùi Thị
Xem chi tiết
Truong Le
Xem chi tiết
LuKenz
Xem chi tiết