Câu 15:
Gọi $x_0$ là nghiệm chung của 2 pt thì:
\(\left\{\begin{matrix}
x_0^2+ax_0+1=0\\
x_0^2-x_0-a=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x_0(a+1)+(a+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x_0+1)(a+1)=0\)
Hiển nhiên $a\neq -1$ để 2 PT không trùng nhau. Do đó $x_0=-1$ là nghiệm chung của 2 PT
Thay vào:
$(-1)^2+a(-1)+1=0$
$\Leftrightarrow 1-a+1=0\Rightarrow a=2$
Đáp án C.
Câu 16:
D sai. Trong tam giác vuông tại $A$ là $ABC$, $\cos (90^0-\widehat{B})=\cos \widehat{C}$ và không có cơ sở để khẳng định $\cos \widehat{C}=\sin \widehat{C}$
Câu 18:
$\pi r^2=36\pi \Rightarrow r^2=36\Rightarrow r=6$ (cm)
Chu vi của hình tròn là:
$2r \pi =2.6\pi =12\pi$ (cm)
Đáp án B.
Câu 17:
Theo tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm cùng nhìn 1 cung thì:
$\widehat{AOB}=2\widehat{AMB}=2.72^0=144^0$
Đáp án B.
Câu 19:
Xét tam giác $MTA$ và $MBT$ có:
$\widehat{M}$ chung
$\widehat{MTA}=\widehat{MBT}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó)
$\Rightarrow \triangle MTA\sim \triangle MBT$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{MT}{MA}=\frac{MB}{MT}$
$\Rightarrow MT^2=MA.MB=16\Rightarrow MT=4$
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $MTO$:
$R=OT=\sqrt{MO^2-MT^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
Đáp án A.
Câu 20:
Vì $16^2+30^2=34^2\Leftrightarrow AB^2+AC^2=BC^2$ nên theo định lý Pitago đảo, $ABC$ là tam giác vuông tại $A$
$S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{16.30}{2}=240$ (cm vuông)
$p_{ABC}=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{16+30+34}{2}=40$ (cm)
Áp dụng công thức $S=pr$ với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác thì BK đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là:
$r=\frac{240}{40}=6$ (cm)
Đáp án C.
Câu 21:
a.
\(\left\{\begin{matrix} 3x+2y=1\\ 2x-y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+2y=1\\ 4x-2y=6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 3x+2y+4x-2y=7\)
\(\Leftrightarrow 7x=7\Leftrightarrow x=1\)
\(y=2x-3=2.1-3=-1\)
Vậy......
b.
\(A=\left[\frac{2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)}-\frac{1}{\sqrt{a}-2}\right].\left[\frac{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}-2}+1\right]\)
\(=\frac{2-\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)}.(\sqrt{a}-1+1)=\frac{-1}{\sqrt{a}}.\sqrt{a}=-1\)
c.
PT có 2 nghiệm phân biệt khi mà:
$\Delta'=1-(m-3)>0\Leftrightarrow 1-m+3>0\Leftrightarrow 4>m$
Áp dụng định lý Viet:
$x_1+x_2=2; x_1x_2=m-3$. Khi đó:
\(x_1^2-2x_2+x_1x_2=-12\Leftrightarrow x_1^2-(x_1+x_2)x_2+x_1x_2=-12\)
\(\Leftrightarrow x_1^2-x_2^2=-12\Leftrightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2)=-12\)
\(\Leftrightarrow x_1-x_2=-6\)
\(\Rightarrow x_1=-2; x_2=4\)
\(\Rightarrow -8=x_1x_2=m-3\Leftrightarrow m=-5\) (thỏa mãn)
Câu 22:
Giả sử nhà Nam có $a$ xe. ĐK: $a\in\mathbb{N}^*$
Mỗi xe dự định chở: $\frac{36}{a}$ (tấn cam)
Thực tế:
Có: $a+3$ xe
Mỗi xe chở: $\frac{36}{a}-1$ (tấn cam)
Ta có:
$36=(a+3)(\frac{36}{a}-1)$
$\Rightarrow a=9$ (thỏa mãn)
Vậy nhà Nam có 9 xe.
Câu 24:
\(P^2=\frac{x^2}{(y+\sqrt{2})^2}=\frac{1-y^2}{y^2+2+2\sqrt{2}y}\)
\(P^2y^2+2P^2+2\sqrt{2}P^2y=1-y^2\)
\(y^2(P^2+1)+2\sqrt{2}P^2y+(2P^2-1)=0\)
Coi đây là pt bậc 2 ẩn $y$ thì:
\(\Delta'=(\sqrt{2}P^2)^2-(2P^2-1)(P^2+1)\geq 0\)
$\Leftrightarrow 1-P^2\geq 0$
$\Leftrightarrow P^2\leq 1$
$\Leftrightarrow -1\leq P\leq 1$ nên $P_{\max}=1$
Câu 15: \(\begin{cases}x^2+ax+1=0\\x^2-x-a=0\end{cases}\)
Ta có: \(x^2+ax+1-(x^2-x-a)=0\)
\(\Leftrightarrow ax+1+x+a=0\)
\(\Leftrightarrow (a+1)x+(a+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+1)(x+1)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a=-1\\x=-1\end{array}\right.\)
TH1: a=-1 thay vào ta được phương trình: \(x^2-x+1=0\)
\(\Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4.1.1=-3<0\) nên phương trình vô nghiệm
Loại \(a=-1\)
TH2: \(x=-1\) thay vào ta được: \((-1)^2-a+1=0\)
\(\Leftrightarrow 1-a+1=0\)
\(\Leftrightarrow a=2\)
Vậy với \(a=2\) thì hai phương trình có nghiệm chung là \(x=-1\)
Đáp án \(C\)
