Bài 3 :
a) Để Hs liên tục khi và chỉ khi
\(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=f\left(2\right)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=\)\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{e^{x-2}-1}{x-2}=1=f\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow f\left(2\right)=1\Rightarrow m-1=1\Leftrightarrow m=2\)
b) Để xác định tính khả vi của hàm số tại \(x=2\), ta cần kiểm tra:
\(f'\left(2\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}\) \(\left(1\right)\)
Với \(m=1\Rightarrow f\left(2\right)=2-1=1\)
\(\left(1\right)\Rightarrow f'\left(2\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\dfrac{e^{x-2}-1}{x-2}-1}{x-2}\)\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{e^{x-2}-1-\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)^2}\) dạng \(\dfrac{0}{0}\) nên áp dụng quy tắc L'Hôpital :
\(\Rightarrow f'\left(2\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\left(x-2\right)e^{x-2}}{2\left(x-2\right)}=\)\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{e^{x-2}}{2}=\dfrac{1}{2}\)
Vậy hàm số \(f\left(x\right)\) khả vi tại \(x=2\) vì giới hạn đạo hàm tồn tại và bằng \(\dfrac{1}{2}\)
