Question

Giúp mình với mình cần gấp

Bài 1: Cho ΔABC vuông tại A. Vẽ AH ⊥ BC tại H. Trên AC lấy điểm D sao cho AD=AH. Gọi I là trung điểm của HD. Tia AI cắt cạnh BC tại K

a) Chứng minh ΔAIH=ΔAID

b) Chứng minh AI ⊥ HD

c) Chứng minh AB//DK

d) Qua B vẽ đường thẳng song song với HD, đường thẳng này cắt đoạn AK tại E. Chứng minh EA=EK

Bài 2: Cho ΔABC cân tại A. Trên tia đối của BC và CB lấy lần lượt điểm D và E sao cho BD=CE

a) Chứng minh ΔADE cân

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của ∠DAE

c) Kẻ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE (H∈AD, K∈AE). Chứng minh BH=CK

d) Chứng minh 3 đường thẳng AM, BH, CK cùng đi qua một điểm

Answer 1

Bài 1:

a: Xét ΔAIH và ΔAID có

AI chung

IH=ID

AH=AD

Do đó: ΔAIH=ΔAID

b: ΔAIH=ΔAID

=>\(\hat{AIH}=\hat{AID}\)

mà \(\hat{AIH}+\hat{AID}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AIH}=\hat{AID}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>AI⊥HD tại I

c: ΔAIH=ΔAID

=>\(\hat{IAH}=\hat{IAD}\)

Xét ΔADK và ΔAHK có

AD=AH

\(\hat{DAK}=\hat{HAK}\)

AK chung

Do đó: ΔADK=ΔAHK

=>\(\hat{ADK}=\hat{AHK}\)

=>\(\hat{ADK}=90^0\)

=>KD⊥AC
mà AB⊥CA

nên KD//AB

d: Ta có: AK⊥DH

DH//BE

Do đó: BE⊥AK

Ta có: \(\hat{BAK}+\hat{CAK}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{BKA}+\hat{KAH}=90^0\)

mà \(\hat{CAK}=\hat{KAH}\)(AK là phân giác của góc HAC)

nên \(\hat{BAK}=\hat{BKA}\)

=>ΔBAK cân tại B

ΔBAK cân tại B

mà BE là đường cao

nên E là trung điểm của AK

=>EA=EK

Bài 2:

a: Ta có: \(\hat{ABD}+\hat{ABC}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{ACE}+\hat{ACB}=180^0\) (hai góc kề bù)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{ABD}=\hat{ACE}\)

Xét ΔABD và ΔACE có

AB=AC

\(\hat{ABD}=\hat{ACE}\)

BD=CE

DO đó: ΔABD=ΔACE

=>AD=AE

=>ΔADE cân tại A

b: ta có: MD=MB+BD

ME=MC+CE

mà MB=MC và BD=CE

nên MD=ME

Xét ΔAMD và ΔAME có

AM chung

MD=ME

AD=AE

Do đó: ΔAMD=ΔAME

=>\(\hat{DAM}=\hat{EAM}\)

=>AM là phân giác của góc DAE
c: ΔABD=ΔACE

=>\(\hat{ADB}=\hat{AEC}\)

Xét ΔBHD vuông tại H và ΔCKE vuông tại K có

BD=CE

\(\hat{BDH}=\hat{CEK}\)

Do đó: ΔBHD=ΔCKE

=>BH=CK

d: Gọi O là giao điểm của BH và CK

ΔBHD=ΔCKE

=>DH=KE

Ta có: AH+HD=AD

AK+KE=AE

mà AD=AE và DH=KE

nên AH=AK

Xét ΔAHO vuông tại H và ΔAKO vuông tại K có

AO chung

AH=AK

Do đó: ΔAHO=ΔAKO

=>OH=OK

Ta có: OH=OB+BH

OK=OC+CK

mà OH=OK và BH=CK

nên OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,M,O thẳng hàng

=>BH,CK,AM đồng quy tại O