giúp mình giải bài tập tromg ảnh nhé
Dưới đây là văn bản và các biểu thức toán học từ ảnh:
---
III. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 16:
a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \((u_n)\) với \(u_1 = \frac{5}{4}, q = -\frac{1}{3}\).
b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn \(2,(3)\) dưới dạng phân số.
Câu 17: Tính \(\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 + 1}{3n^2 + n}\).
Câu 18: Tính \(\lim_{n \to +\infty} (n^2 - n + 3)\).
Câu 19: Cho tổng: \(S_n = \frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{3.4.5} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\). Tính \(S_{30}\).
---
Giải bài tập:
**Câu 16:**
a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính bằng công thức:
\[ S = \frac{u_1}{1 - q} \]
Thay \(u_1 = \frac{5}{4}\) và \(q = -\frac{1}{3}\) vào công thức, ta có:
\[ S = \frac{\frac{5}{4}}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{4}{3}} = \frac{5}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{15}{16} \]
b) Số thập phân vô hạn tuần hoàn \(2,(3)\) có thể được biểu diễn dưới dạng phân số bằng cách:
\[ x = 2.3333\ldots \]
\[ 10x = 23.3333\ldots \]
Trừ hai phương trình:
\[ 10x - x = 23.3333\ldots - 2.3333\ldots \]
\[ 9x = 21 \]
\[ x = \frac{21
Câu 17:
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{2n^2+1}{3n^2+n}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2+\frac{1}{n^2}}{3+\frac{1}{n}}=\frac23\)
Câu 16:
a: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
\(S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac54}{1-\frac{-1}{3}}=\frac54:\frac43=\frac54\cdot\frac34=\frac{15}{16}\)
b: \(2,\left(3\right)=2+0,\left(3\right)=2+\frac13=\frac73\)
Câu 18: \(\lim_{x\to+\infty}\left(n^2-n+3\right)=+\) ∞ vì \(n^2-n+3=n^2-n+\frac14+\frac{11}{4}=\left(n-\frac12\right)^2+\frac{11}{4}>0\forall n\)
Câu 19:
\(S_{n}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(=\frac12\left(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}+\ldots+\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\)
\(=\frac12\left(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)=\frac12\cdot\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)-2}{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(=\frac12\cdot\frac{n^2+3n}{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
=>\(S_{30}=\frac{30\left(30+3\right)}{4\cdot\left(30+1\right)\left(30+2\right)}=\frac{30\cdot33}{4\cdot31\cdot32}=\frac{495}{1984}\)
