ĐKXĐ: x>0; y>0; x<>y
TA có: \(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\cdot\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)
\(=\frac{x-2\sqrt{xy}+y+x+2\sqrt{xy}+y}{\sqrt{xy}\left(x-y\right)}=\frac{2\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(x-y\right)}\)
\(P=\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\cdot\sqrt{x}}\right)\cdot\frac{\sqrt{x^3y}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}\)
\(=\frac{2\left(x+y\right)}{\sqrt{xy}\left(x-y\right)}\cdot\frac{x\cdot\sqrt{xy}}{x+y}-\frac{2y}{x-y}=\frac{2x}{x-y}-\frac{2y}{x-y}=\frac{2\left(x-y\right)}{x-y}=2\)
=>P là số nguyên với mọi x,y thỏa mãn ĐKXĐ
Quy đồng mẫu thức trong ngoặc ta được: Mẫu chung = căn(xy) nhân (căn x + căn y) nhân (căn x - căn y) = căn(xy) nhân (x - y) Tử thức trong ngoặc = (căn x - căn y) mũ 2 + (căn x + căn y) mũ 2 = 2x + 2y = 2(x + y) Kết quả trong ngoặc = 2(x + y) / [căn(xy) nhân (x - y)] Nhân với cụm bên ngoài: Cụm thứ nhất = [2(x + y) / (căn(xy) nhân (x - y))] nhân [x nhân căn(xy) / (x + y)] = 2x / (x - y) Trừ đi cụm thứ hai: P = 2x / (x - y) - 2y / (x - y) = 2(x - y) / (x - y) = 2 Vì P = 2 nên P luôn nhận giá trị nguyên với mọi x, y thỏa mãn điều kiện. (đpcm)
giúp em với ạ. Em cảm ơn ạ
