Question

giúp em câu này vơi ạ
cho x,y là cái số thưc dương thỏa mãn xy=1. Tìm GTNN của Q=x^2+y^2+3/(x+y+1)

Answer 1

(x^2+y^2) + 3/(x+y+1) = (x+y)^2 -2 +3/(x+y+1)

Đặt a=x+y thì Q=a^2+3/(a+1)-2

Ta chứng minh a^2>=4/9(a+1)^2

<=>9a^2>=4a^2+8a+4

<=>5a^2-8a-4>=0

<=>(a-2)(5a+2)>=0 (đúng do a=x+y>=2sqrt(xy)=2)

Vậy Q>=4/9(a+1)^2 + 3/(a+1)-2

Có 4/9(a+1)^2 + 3/(a+1) - 2

=4/9(a+1)^2 +3/[2(a+1)] + 3/[2(a+1)] -2

=1/18 (a+1)^2 + 3/[2(a+1)] + 3/[2(a+1)] -2 + 7/18(a+1)^2

(AM-GM) >=3/2-2+7/18 (2+1)^2 = 3

Vậy MinQ=3, đạt được khi x=y=1.