c.
Gọi E là trung điểm AD \(\Rightarrow EM\) là đường trung bình tam giác SAD
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}EM=\dfrac{1}{2}SA=a\\EM||SA\Rightarrow EM\perp\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow EC\) là hình chiếu vuông góc của CM lên (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{MCE}\) là góc giữa SM và (ABCD)
\(ED=\dfrac{1}{2}AD=a\Rightarrow EC=\sqrt{CD^2+ED^2}=a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow tan\widehat{MCE}=\dfrac{EM}{EC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\widehat{MCE}=...\)
e.
Gọi O là trung điểm BD, qua A kẻ đường thẳng song song BD cắt OE kéo dài tại F
\(\Rightarrow ABOF\) là hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AF=OB=\dfrac{1}{2}BD\\AF||BD\end{matrix}\right.\)
Lại có MN là đường trung bình tam giác SBD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN=\dfrac{1}{2}BD\\MN||BD\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN=AF\\MN||AF\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow ANMF\) là hình bình hành
\(\Rightarrow AN||MF\Rightarrow\left(AN;CM\right)=\left(AN;MF\right)=\widehat{CMF}\) nếu nó ko tù hoặc bằng góc bù của nó nếu \(\widehat{CMF}\) là góc tù
Ta có: \(MF=AN=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\) ; \(CM=\sqrt{CE^2+EM^2}=a\sqrt{3}\)
ABOF là hình bình hành nên AODF cũng là hình bình hành \(\Rightarrow E\) là tâm hình bình hành
\(\Rightarrow EF=OF=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}\)
Gọi G là giao điểm OE và BC \(\Rightarrow FG=EG+EF=a+\dfrac{a}{2}=\dfrac{3a}{2}\)
\(\Rightarrow CF=\sqrt{FG^2+CG^2}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}\)
ĐỊnh lý hàm cos:
\(cos\widehat{CMF}=\dfrac{CM^2+MF^2-CF^2}{2CM.MF}=\dfrac{\sqrt{15}}{15}\Rightarrow\widehat{CMF}\)
