Gọi F là giao điểm của AG và BC. Qua B, kẻ BE//MN(E∈AG) và qua C, kẻ CH//MN(H∈AG)
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
F là giao điểm của AG và BC
Do đó:F là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
G là trọng tâm
AF là đường trung tuyến
Do đó: AG=2GF
Xét ΔFEB và ΔFHC có
\(\hat{FBE}=\hat{FCH}\) (hai góc so le trong, BE//CH)
FB=FC
\(\hat{EFB}=\hat{HFC}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔFEB=ΔFHC
=>FE=FH
=>F là trung điểm của EH
Xét ΔABE có MG//BE
nên \(\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AE}\)
=>\(\frac{AB}{AM}=\frac{AE}{AG}\)
Xét ΔAHC có GN//HC
nên \(\frac{AG}{AH}=\frac{AN}{AC}\)
=>\(\frac{AC}{AN}=\frac{AH}{AG}\)
\(\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AE+AH}{AG}=\frac{AE+EH+AE}{AG}=\frac{2\cdot AE+2\cdot EF}{AG}\)
\(=\frac{2\cdot AF}{AG}=\frac{2\cdot AF}{\frac23AF}=2:\frac23=3\)
