Câu hỏi của Nguyễn Thành Trương

Question

GIẢI TRÍ CUỐI TUẦN CÙNG HOC24

Bài 1: Giải phương trình sau: $
\sqrt {16 - {x^2}}  + \left( {x + 2} \right)\left| {\dfrac{2}{x} - 1} \right| = 4\sqrt {\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \

$

Bài 2...

Ami Mizuno · Accepted Answer

Ta có: $\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{a^2}{bc}$

$1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b^2+c^2}{bc}=1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi vào 3 số "1"; "$\frac{b}{c}$";"$\frac{c}{b}$" có:

1+$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge3\sqrt{1.\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}\ge3$

Hay 1 + $\frac{a^2}{bc}\ge3\:$(*)

$\Leftrightarrow\frac{a^2}{bc}\ge2$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi vào 2 số "$\frac{a}{c}$";"$\frac{a}{b}$" có:

$\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{a}{b}}=2\sqrt{\frac{a^2}{bc}}$ (2)

Từ (1),(2) suy ra: $\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\ge2\sqrt{2}$ (**)

Cộng (*),(**) vế theo vế ta có: $1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{a^2}{bc}\ge3+2\sqrt{2}$

Hay $\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge3+2\sqrt{2}\left(dpcm\right)$Câu trả lời: Ta có: $\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{a^2}{bc}$

$1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b^2+c^2}{bc}=1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi vào 3 số "1"; "$\frac{b}{c}$";"$\frac{c}{b}$" có:

1+$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge3\sqrt{1.\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}\ge3$

Hay 1 + $\frac{a^2}{bc}\ge3\:$(*)

$\Leftrightarrow\frac{a^2}{bc}\ge2$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi vào 2 số "$\frac{a}{c}$";"$\frac{a}{b}$" có:

$\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{a}{b}}=2\sqrt{\frac{a^2}{bc}}$ (2)

Từ (1),(2) suy ra: $\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\ge2\sqrt{2}$ (**)

Cộng (*),(**) vế theo vế ta có: $1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{a^2}{bc}\ge3+2\sqrt{2}$

Hay $\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge3+2\sqrt{2}\left(dpcm\right)$

Trần Thanh Phương · Answer

Đổi tên thành "Thử thách cuối tuần" chứ mấy bài này không giải trí mấy.

Bài 1:

Căng quá, đang đi cứu trợ :))

Bài 2:

Xét $\frac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}=\frac{x+2xy+xyz}{x+xy+xz+xyz}=\frac{1+2y+yz}{1+y+z+yz}=\frac{yz+y+z+1+y-z}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}$

$=\frac{\left(y+1\right)\left(z+1\right)+y-z}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=1+\frac{y-z}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=1+\frac{\left(y+1\right)-\left(z+1\right)}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=1+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{y+1}$

Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên chứng minh tương tự với 3 phân thức còn lại ta cũng có:

$\frac{y+2yz+1}{y+yz+yx+1}=1+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{z+1}$

$\frac{z+2zx+1}{z+zx+zy+1}=1+\frac{1}{y+1}-\frac{1}{x+1}$

Cộng theo vế 3 đẳng thức ta có:

$P=1+1+1+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+1}\right)+\left(\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z+1}\right)=3$

Vậy....

Bài 3:

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo Pytago ta có:

$a^2=b^2+c^2\Leftrightarrow a=\sqrt{b^2+c^2}$

$\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{a^2}{bc}=1+a\cdot\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{b^2+c^2}{bc}$ (1)

Áp dụng BĐT Cô-si:

+) $b^2+c^2\ge2bc\Leftrightarrow\frac{b^2+c^2}{bc}\ge2\Leftrightarrow\frac{b^2+c^2}{bc}+1\ge3$ (2)

+) $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{\sqrt{bc}}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{4}{bc}$ (3)

Từ (2) và (3) ta có: $\left(b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge2bc\cdot\frac{4}{bc}=8$

$\Leftrightarrow\sqrt{b^2+c^2}\cdot\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow a\cdot\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\sqrt{2}$ (4)

Từ (1), (2) và (4) suy ra $\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge3+2\sqrt{2}$ ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=c$ hay tam giác ABC vuông cân tại A.Câu trả lời: Đổi tên thành "Thử thách cuối tuần" chứ mấy bài này không giải trí mấy.

Bài 1:

Căng quá, đang đi cứu trợ :))

Bài 2:

Xét $\frac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}=\frac{x+2xy+xyz}{x+xy+xz+xyz}=\frac{1+2y+yz}{1+y+z+yz}=\frac{yz+y+z+1+y-z}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}$

$=\frac{\left(y+1\right)\left(z+1\right)+y-z}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=1+\frac{y-z}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=1+\frac{\left(y+1\right)-\left(z+1\right)}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=1+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{y+1}$

Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên chứng minh tương tự với 3 phân thức còn lại ta cũng có:

$\frac{y+2yz+1}{y+yz+yx+1}=1+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{z+1}$

$\frac{z+2zx+1}{z+zx+zy+1}=1+\frac{1}{y+1}-\frac{1}{x+1}$

Cộng theo vế 3 đẳng thức ta có:

$P=1+1+1+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+1}\right)+\left(\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z+1}\right)=3$

Vậy....

Bài 3:

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo Pytago ta có:

$a^2=b^2+c^2\Leftrightarrow a=\sqrt{b^2+c^2}$

$\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{a^2}{bc}=1+a\cdot\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{b^2+c^2}{bc}$ (1)

Áp dụng BĐT Cô-si:

+) $b^2+c^2\ge2bc\Leftrightarrow\frac{b^2+c^2}{bc}\ge2\Leftrightarrow\frac{b^2+c^2}{bc}+1\ge3$ (2)

+) $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{\sqrt{bc}}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{4}{bc}$ (3)

Từ (2) và (3) ta có: $\left(b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge2bc\cdot\frac{4}{bc}=8$

$\Leftrightarrow\sqrt{b^2+c^2}\cdot\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow a\cdot\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\sqrt{2}$ (4)

Từ (1), (2) và (4) suy ra $\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge3+2\sqrt{2}$ ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=c$ hay tam giác ABC vuông cân tại A.

Trần Thanh Phương · Answer

Bài 1: $\sqrt{16-x^2}+\left(x+2\right)\left|\frac{2}{x}-1\right|=4\sqrt{\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}$ ĐKXĐ: $\left\{{}\begin{matrix}16-x^2\ge0\\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\ge0\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4\le x\le4\x\ge\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le x\le4$ +) Xét $\frac{1}{2}\le x\le2$ $\Leftrightarrow\frac{2}{x}-1\ge0$ pt $\Leftrightarrow\sqrt{16-x^2}+\left(x+2\right)\left(\frac{2}{x}-1\right)=4\sqrt{\frac{2x-1}{x^2}}$ $\Leftrightarrow\sqrt{16-x^2}+\frac{-x^2+4}{x}=\frac{4\sqrt{2x-1}}{x}$ ( vì $x\ge\frac{1}{2}$ ) $\Leftrightarrow\sqrt{16-x^2}=\frac{x^2+4\sqrt{2x-1}-4}{x}$ $\Leftrightarrow x^2-4+4\sqrt{2x-1}-x\sqrt{16-x^2}=0$ $\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)+\frac{\left(x-2\right)^2\left(x^2+4x-4\right)}{4\sqrt{2x-1}+x\sqrt{16-x^2}}=0$ $\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[x+2+\frac{\left(x-2\right)\left(x^2+4x-4\right)}{4\sqrt{2x-1}+x\sqrt{16-x^2}}\right]=0$ Với $\frac{1}{2}\le x\le2$ thì $x+2+\frac{\left(x-2\right)\left(x^2+4x-4\right)}{4\sqrt{2x-1}+x\sqrt{16-x^2}}\ne0$ Do đó $x-2=0\Leftrightarrow x=2$ ( thỏa mãn ) +) Với $x>2\Leftrightarrow\frac{2}{x}-1< 0$ Làm tương tự như trên ta có pt sau: $x^2-4+x\sqrt{16-x^2}-4\sqrt{2x-1}=0$ $\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[x+2-\frac{\left(x-2\right)\left(x^2+4x-4\right)}{4\sqrt{2x-1}+x\sqrt{16-x^2}}\right]=0$ Với $x>2$ thì $x+2-\frac{\left(x-2\right)\left(x^2+4x-4\right)}{4\sqrt{2x-1}+x\sqrt{16-x^2}}\ne0$ Do đó $x-2=0\Leftrightarrow x=2$ ( loại ) Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=2$. :PCâu trả lời: Bài 1: $\sqrt{16-x^2}+\left(x+2\right)\left|\frac{2}{x}-1\right|=4\sqrt{\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}$ ĐKXĐ: $\left\{{}\begin{matrix}16-x^2\ge0\\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\ge0\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4\le x\le4\x\ge\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le x\le4$ +) Xét $\frac{1}{2}\le x\le2$ $\Leftrightarrow\frac{2}{x}-1\ge0$ pt $\Leftrightarrow\sqrt{16-x^2}+\left(x+2\right)\left(\frac{2}{x}-1\right)=4\sqrt{\frac{2x-1}{x^2}}$ $\Leftrightarrow\sqrt{16-x^2}+\frac{-x^2+4}{x}=\frac{4\sqrt{2x-1}}{x}$ ( vì $x\ge\frac{1}{2}$ ) $\Leftrightarrow\sqrt{16-x^2}=\frac{x^2+4\sqrt{2x-1}-4}{x}$ $\Leftrightarrow x^2-4+4\sqrt{2x-1}-x\sqrt{16-x^2}=0$ $\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)+\frac{\left(x-2\right)^2\left(x^2+4x-4\right)}{4\sqrt{2x-1}+x\sqrt{16-x^2}}=0$ $\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[x+2+\frac{\left(x-2\right)\left(x^2+4x-4\right)}{4\sqrt{2x-1}+x\sqrt{16-x^2}}\right]=0$ Với $\frac{1}{2}\le x\le2$ thì $x+2+\frac{\left(x-2\right)\left(x^2+4x-4\right)}{4\sqrt{2x-1}+x\sqrt{16-x^2}}\ne0$ Do đó $x-2=0\Leftrightarrow x=2$ ( thỏa mãn ) +) Với $x>2\Leftrightarrow\frac{2}{x}-1< 0$ Làm tương tự như trên ta có pt sau: $x^2-4+x\sqrt{16-x^2}-4\sqrt{2x-1}=0$ $\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[x+2-\frac{\left(x-2\right)\left(x^2+4x-4\right)}{4\sqrt{2x-1}+x\sqrt{16-x^2}}\right]=0$ Với $x>2$ thì $x+2-\frac{\left(x-2\right)\left(x^2+4x-4\right)}{4\sqrt{2x-1}+x\sqrt{16-x^2}}\ne0$ Do đó $x-2=0\Leftrightarrow x=2$ ( loại ) Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=2$. :P

Violympic toán 9

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)