Question

Giải phương trình:

\(x\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)=24\)

Answer 1

x(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 24

<=> x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x = 24

<=> x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x - 24 = 0

<=> (x - 2)(x + 3)(x^2 + x + 4) = 0

<=> x - 2 = 0 hoặc x + 3 = 0 hoặc x^2 + x + 4 khác 0

<=> x = 2 hoặc x = -3

Answer 2

\(x\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)=24\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left[x\left(x+1\right)\right]\left[\left(x-1\right)\left(x+2\right)\right]=24\)
\(\Leftrightarrow\) \(\text{ }\left(x^2+x\right)\left(x^2+x-2\right)=24\)

Đặt \(x^2+x=a\), ta có:  \(a\left(a-2\right)=24\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2-2a-24=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a-6\right)\left(a+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}a-6=0\\a+4=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\orbr{\begin{cases}a=6\\a=-4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x^2+x=6\\x^2+x=-4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\) \(\orbr{\begin{cases}x^2+x-6=0\\x^2+x+4=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\) \(\orbr{\begin{cases}\left(x+3\right)\left(x-2\right)=0\\x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{11}{4}=0\end{cases}}\) (1)

Có : \(x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{11}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\ge0+\frac{11}{4}>0\forall x\) (2)

(1); (2)\(\Rightarrow\left(x+3\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+3=0\\x-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=2\end{cases}}}\)

Vậy PT có tập nghiệm: S = {-3; 2}