Question

Giải phương trình trên tập số nguyên  x 2015 = y ( y + 1 ) ( y + 2 ) ( y + 3 ) + 1 (1)

Answer 1

x 2015 = y ( y + 1 ) ( y + 2 ) ( y + 3 ) + 1 (1)

y ( y + 1 ) ( y + 2 ) ( y + 3 ) = y ( y + 3 ) ( y + 1 ) ( y + 2 ) = ( y 2 + 3 y ) ( y 2 + 3 y + 2 ) Đ ặ t   t = y 2 + 3 y + 1 ⇒ y ( y + 1 ) ( y + 2 ) ( y + 3 ) = t 2 − 1  

( t ∈ ℤ , t² ≥ 1)

( 1 )   ⇔ x 2015 − 1 = t 2 − 1 ⇔ x 2015 − 1 ≥ 0 x 2015 − 1 = t 2 − 1 ( 2 )

Với x, t là số nguyên ta có: 

( 2 ) ⇔ x 2015 − 1 + t x 2015 − 1 − t = − 1 ⇔ x 2015 − 1 + t = 1 x 2015 − 1 − t = − 1 x 2015 − 1 + t = − 1 x 2015 − 1 − t = 1 ⇔ x 2015 = t = 1 x 2015 = 1 t = − 1

Với  x 2015 = t = 1 ⇒ x = 1 y 2 + 3 y + 1 = 1 ⇔ x = 1 y = 0 y = − 3

Với  x 2015 = 1 t = − 1 ⇒ x = 1 y 2 + 3 y + 1 = − 1 ⇔ x = 1 y = − 1 y = − 2

Thử lại ta thấy các cặp (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0) thỏa mãn đề bài

Vậy có 4 cặp (x;y) cần tìm là (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0)