Câu 1:
ĐK: \(x\geq -8\)
Đặt \(\sqrt{x+8}=a(a\geq 0)\) thì pt tương đương với:
\((4x+2)a=3x^2+6x+(x+8)=3x^2+6x+a^2\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+6x+a^2-4ax-2a=0\)
\(\Leftrightarrow (4x^2-4ax+a^2)-x^2+6x-2a=0\)
\(\Leftrightarrow (2x-a)^2+2(2x-a)-x^2+2x=0\)
\(\Leftrightarrow (2x-a)^2+2(2x-a)+1-(x^2-2x+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (2x-a+1)^2-(x-1)^2=0\)
\(\Leftrightarrow (x-a+2)(3x-a)=0\)
\(\bullet \)Nếu \(x-a+2=0\Leftrightarrow x+2=a\Rightarrow (x+2)^2=a^2=x+8\)
\(\Leftrightarrow x^2+3x+4=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ x=-4\end{matrix}\right.\) . Ở đây chỉ có TH $x=1$ thỏa mãn còn $x=-4$ bị loại vì $x+2=a\geq 0$
\(\bullet \) Nếu \(3x-a=0\Rightarrow 3x=a\Rightarrow 9x^2=a^2=x+8\)
\(\Leftrightarrow 9x^2-x-8=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ x=\frac{-8}{9}\end{matrix}\right.\). Ở đây chỉ có TH $x=1$ thỏa mãn còn $x=-\frac{8}{9}$ loại vì \(9x=a\geq 0\rightarrow x\geq 0\)
Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=1$
Câu 2:
ĐK: \(x\geq \frac{-1}{3}\)
Đặt \(\sqrt{3x+1}=a(a\geq 0)\). Khi đó pt đã cho tương đương với:
\(x^2+x+(3x+1)-2x\sqrt{3x+1}=\sqrt{3x+1}\)
\(\Leftrightarrow x^2+x+a^2-2ax=a\)
\(\Leftrightarrow (x^2+a^2-2ax)+(x-a)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-a)^2+(x-a)=0\Leftrightarrow (x-a)(x-a+1)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=a\\ x+1=a\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x=a=\sqrt{3x+1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x^2=3x+1\end{matrix}\right.\Rightarrow x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) (t/m)
Nếu \(x+1=a=\sqrt{3x+1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ (x+1)^2=3x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x^2-x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=0\) hoặc $x=1$
Vậy.........
Câu 3:
Đặt \(\sqrt{x^2+3}=a(a\geq 0)\)
PT đã cho tương đương với:
\((x^2+3)+2x^2+2x=(3x+1)\sqrt{x^2+3}\)
\(\Leftrightarrow a^2+2x^2+2x=(3x+1)a\)
\(\Leftrightarrow a^2+2x^2+2x-3ax-a=0\)
\(\Leftrightarrow (a^2+4x^2-4ax)+2x-a-2x^2+ax=0\)
\(\Leftrightarrow (a-2x)^2-(a-2x)+x(a-2x)=0\)
\(\Leftrightarrow (a-2x)(a-x-1)=0\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=2x\\ a=x+1\end{matrix}\right.\)
Nếu \(2x=a=\sqrt{x^2+3}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4x^2=x^2+3\end{matrix}\right.\Rightarrow x=1\) (t/m)
Nếu \(x+1=a=\sqrt{x^2+3}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ (x+1)^2=x^2+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ 2x=2\end{matrix}\right.\Rightarrow x=1\)
Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=1$
Với những bài này, nếu bạn không biết làm sao để tách ghép đưa về dạng tích bằng $0$ thì có thể coi PT mà ta vừa biến đổi tương đương về dạng pt bậc hai một ẩn $x$ hoặc $a$, từ đó thiết lập Delta để tìm ra mối quan hệ giữa $x,a$
