Điều kiện : \(x^3+8\ge0\Leftrightarrow x\ge-2.\)
Ta có : \(x^3+8=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\)
Đặt : \(\sqrt{x+2}=u\ge0;\sqrt{x^2-2x+4}=t>0\)
\(\Rightarrow t^2-u^2=\left(x^2-2x+4\right)-\left(x+2\right)=x^2-3x+2.\)
Phương trình đã cho tương đương với :
\(3ut=2\left(t^2-u^2\right)\Leftrightarrow2t^2-2u^2-3ut=0\)
\(\Leftrightarrow2t^2+ut-2u^2-4ut=0\Leftrightarrow t\left(2t+u\right)-2u\left(2t+u\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-2u\right)\left(2t+u\right)=0\Leftrightarrow t-2u=0\)( vì \(2t+u>0\))
\(\Leftrightarrow t=2u\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x+4}=2\sqrt{x+2}\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+4=4\left(x+2\right)\Leftrightarrow x^2-6x-4=0\)
Có : \(\Delta^'=3^2-\left(-4\right)=13>0\)nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=3+\sqrt{13}\left(tmđk\right).\)
\(x_2=3-\sqrt{13}\left(tmđk\right).\)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là.....
