\(\hept{\begin{cases}3x^3-y^3=\frac{1}{x+y}\left(1\right)\\x^2+y^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)(ĐKXĐ: \(x;y\in R;x\ne-y\))
Pương trình (1) tương đương \(2x^3+\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=\frac{1}{x+y}\)
Thế (2) vào phương trình trên ta được: \(2x^3+\left(x-y\right)\left(1+xy\right)=\frac{1}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow2x^3\left(x+y\right)+\left(x^2-y^2\right)\left(1+xy\right)-1=0\)
\(\Leftrightarrow2x^4+3x^3y+x^2-y^2-xy^3-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^4+x^3y-x^2y^2-x^2\right)+\left(2x^3y+x^2y^2-xy^3-xy\right)+\left(2x^2+xy-y-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+xy+1\right)\left(2x^2+xy-y^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+xy+1=0\\2x^2+xy-y^2-1=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x^2+xy+y^2=0\left(3\right)\\x^2+xy-2y^2=0\left(4\right)\end{cases}}\)
+) Ta thấy \(\Delta_{\left(3\right)}=-7< 0.\)Suy ra phương trình (3) vô nghiệm.
+) Phương trình (4) tương đương \(\left(x-y\right)\left(x+2y\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=-2y\end{cases}}\)
Từ đó thế vào phương trình (2) ta được:
\(\orbr{\begin{cases}2y^2=1\\5y^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}\\y=\pm\sqrt{\frac{1}{5}}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\left(h\right)\hept{\begin{cases}x=\mp\frac{2\sqrt{5}}{5}\\y=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}\end{cases}}\)(thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình cho là \(S=\left\{\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2};\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\right);\left(\mp\frac{2\sqrt{5}}{5};\pm\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\right\}.\)
Sửa: \(\left(2x^4+x^3y-x^2y^2-x^2\right)+\left(2x^3y+x^2y^2-xy^3-xy\right)+\left(2x^2+xy-y^2-1\right)=0\)
Mình gõ thiếu số 2 :)
