Question

Giải hệ phương trình

\(\hept{\begin{cases}x^3+4y=y^3+16x\\1+y^2=5\left(1+x^2\right)\end{cases}}\)

Answer 1

\(\hept{\begin{cases}x^3+4y=y^3+16x\\1+y^2=5\left(1+x^2\right)\end{cases}}\left(I\right)\)

- Xét x = 0 thì hệ \(\left(I\right)\)trở thành \(\hept{\begin{cases}4y=y^3\\y^2=4\end{cases}}\Leftrightarrow y=\pm2\)

- Xét \(x\ne0\), đặt \(\frac{y}{x}=t\Rightarrow y=xt\). Hệ \(\left(I\right)\)trở thành

\(\hept{\begin{cases}x^3+4xt=x^3t^3+16x\\1+x^2t^2=5\left(1+x^2\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^3\left(t^3-1\right)=4xt-16x\\x^2\left(t^2-5\right)=4\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^3\left(t^3-1\right)=4x\left(t-4\right)\left(1\right)\\4=x^2\left(t^2-5\right)\left(2\right)\end{cases}}\)

Nhân từng vế của (1) và (2), ta được: \(4x^3\left(t^3-1\right)=4x^3\left(t-4\right)\left(t^2-5\right)\)

\(\Leftrightarrow t^3-1=\left(t-4\right)\left(t^2-5\right)\)(Do \(x\ne0\))

\(\Leftrightarrow t^3-1=t^3-4t^2-5t+20\Leftrightarrow4t^2+5t-21=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+3\right)\left(4t-7\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-3\\t=\frac{7}{4}\end{cases}}\)

* Với t = -3, thay vào (2), ta được \(x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\)

 +) x = 1 thì y = -3, thử lại (1;-3) là một nghiệm của \(\left(I\right)\)

 +) x = -1 thì y = 3, thử lại (-1;3) là một nghiệm của \(\left(I\right)\)

* Với \(t=\frac{7}{4}\), thay vào (2), ta được \(x^2=-\frac{64}{31}\left(L\right)\)

Vậy hệ có 4 nghiệm (x;y) là \(\left(0;2\right),\left(0;-2\right),\left(1;-3\right),\left(-1;3\right)\)

Answer 2

\(\hept{\begin{cases}x^3+4y=y^3+16x\left(1\right)\\1+y^2=5\left(1+x^2\right)\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (2) => \(y^2-5x^2=4\left(3\right)\)

Thế vào (1) được \(x^3+\left(y^2-5x^2\right)\cdot y=y^3+16x\Leftrightarrow x^3-5x^2y-16x=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x^2-5xy-16=0\end{cases}}\)

Với x=0 => \(y^2=4\Rightarrow y=\pm2\)

Với \(x^2-5xy-16=0\Leftrightarrow y=\frac{x^2-16}{5x}\left(4\right)\)

Thế vào (3) được \(\left(\frac{x^2-16}{5x}\right)^2-5x^2=4\)

\(\Leftrightarrow x^4-32x^2+256-125x^4=100x^2\Leftrightarrow124x^4+132x^2-256=0\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(y=-3\right)\\x=-1\left(y=3\right)\end{cases}}\)

Vậy hệ có 4 nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(0;2\right);\left(0;-2\right);\left(1;-3\right);\left(-1;3\right)\)