Question

giai he phuong trinh 

\(\hept{\begin{cases}2x=\sqrt{y+3}\\2y=\sqrt{z+3}\\2z=\sqrt{x+3}\end{cases}}\)

Answer 1

\(\hept{\begin{cases}2x=\sqrt{y+3}\left(1\right)\\2y=\sqrt{z+3}\left(2\right)\\2z=\sqrt{x+3}\left(3\right)\end{cases}}\)(*)

Do \(\hept{\begin{cases}\sqrt{y+3}\ge0\\\sqrt{z+3}\ge0\\\sqrt{x+3}\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x\ge0\\2y\ge0\\2z\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\z\ge0\end{cases}}}\)

Do 2 vế của các phương trình (1)(2)(3) không âm, bình phương 2 vế của mỗi phương trình ta được hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=z+3\\\left(2z\right)^2=x+3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=y+3\\\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2+\left(2z\right)^2=x+y+z+9\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=y+3\\\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2+\left(2z\right)^2-x-y-z-9=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=y+3\\\left[\left(2x\right)^2-2.2x.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right]+\left[\left(2y\right)^2-2.2y.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right]+\left[\left(2z\right)^2-2.2z.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right]+\frac{141}{16}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=y+3\\\left(2x+\frac{1}{4}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{4}\right)^2+\left(2z+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{141}{16}=0\left(4\right)\end{cases}}\)

Do \(\left(2x+\frac{1}{4}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{4}\right)^2+\left(2z+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{141}{16}>0\)

nên phương trình (4) vô nghiệm

=> Phương trình (*) vô nghiệm

Answer 2

bạn trên giải sai rồi 

Answer 3

Điều kiện \(x,y,z>0,5\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4x^2=y+3\left(1\right)\\4y^2=z+3\left(2\right)\\4z^2=x+3\left(3\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) - (2); (2) - (3); (3) - (1) ta được

\(\hept{\begin{cases}4\left(x-y\right)\left(x+y\right)=y-z\left(4\right)\\4\left(y-z\right)\left(y+z\right)=z-x\left(5\right)\\4\left(z-x\right)\left(z+x\right)=x-y\left(6\right)\end{cases}}\)

Lấy (4).(5).(6) ta được

\(64\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left[64\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-1\right]=0\)

\(\Rightarrow x=y=z=1\)