$\left( {{x}^{2}}y-8x+y-3 \right){{\log }_{9}}y={{\log }_{3}}\dfrac{\sqrt{8x-y+4}}{x}\,\,\,\left( * \right)$
Điều kiện: $y>0$ và $8x-y+4>0$
Do $x>1$ nên $8x+4>12$
Mà $8x-y+4>0$
Nên nếu $0<y\le 12$ thì chắc chắn thỏa mãn điều kiện xác định
$\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ {{x}^{2}}y+1-\left( 8x-y+4 \right) \right]{{\log }_{3}}y={{\log }_{3}}\dfrac{8x-y+4}{{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}y{{\log }_{3}}y+{{\log }_{3}}y-\left( 8x-y+4 \right){{\log }_{3}}y={{\log }_{3}}\left( 8x-y+4 \right)-{{\log }_{3}}{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}y{{\log }_{3}}y+\left( {{\log }_{3}}{{x}^{2}}+{{\log }_{3}}y \right)=\left( 8x-y+4 \right){{\log }_{3}}y+{{\log }_{3}}\left( 8x-y+4 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}y{{\log }_{3}}y+{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}y \right)=\left( 8x-y+4 \right){{\log }_{3}}y+{{\log }_{3}}\left( 8x-y+4 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}y=8x-y+4$(hàm đặc trưng, đồng biến $f\left( t \right)=t{{\log }_{3}}y+{{\log }_{3}}t$))
$\Leftrightarrow y=\dfrac{8x+4}{{{x}^{2}}+1}$
Xét $y=f\left( x \right)=\dfrac{8x+4}{{{x}^{2}}+1}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{-8{{x}^{2}}-8x+8}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$
Cho $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ (không thỏa mãn $x>1$)
Bảng biến thiên: Xem hình
Dựa vào bảng biến thiên
Để $f\left( x \right)$ có nghiệm
Thì $0<y<6$
$\Rightarrow y\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy có $5$ giá trị nguyên dương của $y$
Chọn câu $A$
