\(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2+\sqrt{3+u^2_n}}\)\(\Rightarrow u_2=\dfrac{1}{4}\) Đặt \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\), khi đó ta có:
\(v_{n+1}=2v_n+\sqrt{3v_n^2+1}\), và \(v_2=4\)
\(\Leftrightarrow v_{n+1}^2-4v_{n+1}v_n+v_n^2-1=0\left(1\right)\)
\(\Rightarrow v^2_n-4v_nv_{n-1}+v_{n-1}^2-1=0\left(2\right)\).
Từ (1), (2), ta có \(v_{n-1},v_{n+1}\) là 2 nghiệm của phương trình \(x^2-4xv_n+v^2_n-1=0\). Do đó, theo định lí Viete, ta có \(v_{n+1}+v_{n-1}=4v_n\).
Phương trình đặc trưng: \(X^2-4X+1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}X=2+\sqrt{3}\\X=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\). Do đó:
\(v_n=a\left(2+\sqrt{3}\right)^n+b\left(2-\sqrt{3}\right)^n\). Ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(2+\sqrt{3}\right)+b\left(2-\sqrt{3}\right)=1\\a\left(2+\sqrt{3}\right)^2+b\left(2-\sqrt{3}\right)^2=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\\b=\dfrac{-\sqrt{3}}{6}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(v_n=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\left[\left(2+\sqrt{3}\right)^n-\left(2-\sqrt{3}\right)^n\right]\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\left(2+\sqrt{3}\right)^n-\left(2-\sqrt{3}\right)^n}\)
