Question

Giả sử a, b, c là các số dương và S₁ = \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\); S₂ = \(\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\). Chứng minh rằng: S₁ = S₂ và S₁\(\ge\)\(\frac{a+b+c}{2}\)

 

 

Answer 1

Xét hiệu \(S_1-S_2=\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{c+a}\)

                         \(=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{c+a}\)

                         \(=a-b+b-c+c-a\)

                           \(=0\)

\(\Rightarrow S_1=S_2\)

+) Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=a\)

\(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{b^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=b\)

\(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge2\sqrt{\frac{c^2}{c+a}.\frac{c+a}{4}}=c\)

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:

\(S_1+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow S_1\ge\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)

Answer 2

dit me may

Answer 3

Svac-xơ:

\(S_1\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

Answer 4

Cho S₁ và S₂ làm gì khi không sử dụng S₂ ở vế sau:) Vậy nên tui làm cách chứa S₂ để cho đề bài nó các tác dụng chút nha!

Dễ dàng chứng minh \(S_1=S_2\). Vì vậy:

\(S_1=\frac{S_1+S_2}{2}=\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\frac{a^2+b^2}{a+b}\)

Xét BĐT phụ: \(\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{a+b}{2}\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}\ge0\)(đúng)

Vì vậy: \(S_1=\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{4}\left[\Sigma_{cyc}\left(a+b\right)\right]=\frac{a+b+c}{2}\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c