Question

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{x+1}\)\(\ge1\)với xy=1 và x,y>0

Answer 1

Ta có: \(\frac{x^2}{y+1}+\frac{\left(y+1\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)

Tương tự với phân thức kia.Ta có:

\(VT=\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{x+1}=\left(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\right)+\left(\frac{y^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\right)-\left(\frac{x+y+2}{4}\right)\) (Áp dụng cái BĐT bên trên vào,ta có:)

\(\ge x+y-\frac{x+y+2}{4}=\frac{3\left(x+y\right)-2}{4}\ge\frac{3.2.\sqrt{xy}-2}{4}=\frac{6-2}{4}=1^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1

P/s: Đúng không ta?Em mới lớp 7 thôi ạ!