Question

Đường tròn (O;R) có đường kính AB. H là trung điểm của OB. Vẽ dây CD vuông góc với OB tại H. K là trung điểm của AC. Lấy I đối xứng với A qua H

a) Chứng minh 4 điểm C,HO,K cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh Tứ giác ADIC là hình thoi.

Answer 1

a: ΔOAC cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK\(\perp\)AC

Xét tứ giác OHCK có \(\widehat{OHC}+\widehat{OKC}=90^0+90^0=180^0\)

nên OHCK là tứ giác nội tiếp

=>O,H,C,K cùng thuộc 1 đường tròn

b: ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD

Xét tứ giác OCBD có

H là trung điểm chung của OB và CD

=>OCBD là hình bình hành

Hình bình hành OCBD có OC=OD

nên OCBD là hình thoi

=>OC=CB=BD=DO

Xét ΔCBO có CB=CO=OB

nên ΔCBO đều

=>\(\widehat{CBA}=60^0\)

Xét ΔCAB có \(tanCBA=\dfrac{CA}{CB}\)

=>\(\dfrac{CA}{CB}=tan60=\sqrt{3}\)

=>\(CA=\sqrt{3}\cdot CB\)

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}CA^2=AH\cdot AB\\CB^2=BH\cdot BA\end{matrix}\right.\)

=>\(\dfrac{CA^2}{CB^2}=\dfrac{AH\cdot AB}{BH\cdot AB}\)

=>\(\dfrac{AH}{BH}=\left(\sqrt{3}\right)^2=3\)

=>AH=3HB

I đối xứng A qua H nên H là trung điểm của AI

Xét tứ giác ACID có

H là trung điểm chung của AI và CD

nên ACID là hình bình hành

Hình bình hành ACID có AI\(\perp\)CD

nên ACID là hình thoi