Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( A ), chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi căn bậc hai và cộng lại.
Đặt ( y = x - 1 ), ta có:
( A = \sqrt{1} + \sqrt{y^2} + \sqrt{4} + \sqrt{(y+3)^2} )
( A = 1 + |y| + 2 + |y+3| )
( A = |y| + |y+3| + 3 )
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( A ), chúng ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của ( |y| + |y+3| ).
Để giải bài toán này, ta phải xem xét 4 trường hợp cho ( y ):
Khi ( y \geq -3 ) (tương đương với ( x \geq -2 )): ( |y| + |y+3| = y + (y+3) = 2y + 3 ) Do đó, ( A = 2y + 3 ) khi ( x \geq -2 ).
Khi ( -3 > y \geq 0 ) (tương đương với ( -2 > x \geq 1 )): ( |y| + |y+3| = y + (-(y+3)) = -2 ) Do đó, ( A = -2 + 3 = 1 ) khi ( -2 > x \geq 1 ).
Khi ( 0 > y \geq -3 ) (tương đương với ( 1 > x \geq -2 )): ( |y| + |y+3| = -y + (3+y) = 3 ) Do đó, ( A = 3 ) khi ( 1 > x \geq -2 ).
Khi ( y < -3 ) (tương đương với ( x < -2 )): ( |y| + |y+3| = -y + -(y+3) = -2y - 3 ) Do đó, ( A = - 2y - 3 ) khi ( x < -2 ).
Vậy giá trị nhỏ nhất của ( A ) là 1 khi ( -2 > x \geq 1 ).
