Lời giải:
Nếu $x=0$ thì $a=b$. Khi đó:
$x+y+z+xyz=y+z=\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b}{c+b}=0$ (đpcm)
Tương tự: $y=0; z=0$ cũng vậy.
Nếu $xyz\neq 0$:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}+\frac{(b+c)(c+a)}{(b-c)(c-a)}+\frac{(a+b)(a+c)}{(a-b)(c-a)}\)
\(=\frac{(a+b)(b+c)(c-a)+(b+c)(c+a)(a-b)+(a+b)(a+c)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(=\frac{(ab+bc+ac)[(c-a)+(b-c)+(a-b)]+b^2(c-a)+c^2(a-b)+a^2(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(=\frac{b^2(c-a)+c^2(a-b)+a^2(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)-(ab^2+bc^2+ca^2)}{(ab^2+bc^2+ca^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+1=0\Leftrightarrow \frac{x+y+z+xyz}{xyz}=0\Rightarrow x+y+z+xyz=0\)
Ta có đpcm.
