Question

cứu!!!

Answer 1

Lời giải:
\(\frac{5^{n+1}+7^{n+1}}{5^n+7^n}=\frac{5(5^n+7^n)+2.7^n}{5^n+7^n}=5+\frac{2.7^n}{5^n+7^n}\)

Để biểu thức đã cho là số nguyên thì $\frac{2.7^n}{5^n+7^n}$ là số nguyên

$\Rightarrow 2.7^n\vdots 5^n+7^n$

$\Rightarrow 2(7^n+5^n)-2.5^n\vdots 5^n+7^n$

$\Rightarrow 2.5^n\vdots 5^n+7^n$

Vậy $5^n+7^n$ là ước chung của $2.7^n$ và $2.5^n$

Mà $ƯCLN(2.7^n, 2.5^n)=2$ nên $2\vdots 5^n+7^n$

$\Rightarrow 5^n+7^n=1$ hoặc $5^n+7^n=2$

Với $n$ tự nhiên thì $5^n+7^n\geq 5^0+7^0=2$ nên chỉ có duy nhất $n=0$ thỏa mãn.

Thử lại thấy đúng.

Vậy $n=0$.