Question

Có tất cả bao nhiêu cặp số thực (x;y) sao cho  x ∈ [ - 1 ; 1 ]  và ln x - y x - 2017 y + e 2018 . Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức P = e 2018 y + 1 x 2 - 2018 x 2  với x ; y ∈ S  đạt được tại x 0 ; y 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.  x 0 ∈ - 1 ; 0

B.  x 0 = - 1

C.  x 0 = 1

D.  x 0 ∈ [ 0 ; 1 )

Answer 1

Đáp án A

Ta có ln x - y 2 - 2017 x = ln x - y y - 2017 y + e 2018 ⇔ x - y ln x - y - 2017 x - y = e 2018  

⇔ ln x - y - e 2018 x - y - 2017 = 0 .  Xét hàm số f t = ln t - e 2018 t - 2017 ,có  f ' t = 1 t + e 2018 t 2 > 0 ; ∀ t > 0

Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên 0 ; + ∞ mà  f e 2018 = 0 ⇒ t = x - y = e 2018

Khi đó  P = e 2018 x 1 + x - e 2018 - 2018 x 2 → g x  

Lại có  g ' x = e 2018 x x 2019 + 2018 x - 2018 e 2018 - 4036 x ⇒ g ' ' < 0 ; ∀ x ∈ - 1 ; 1  

Nên g'(x) là hàm số nghịch biến trên [-1;1] mà  g ' - 1 = e - 2018 + 2018 > 0

Và g ' 0 = 2019 - 2018 e 2018 < 0  nên tồn tại x 0 ∈ - 1 ; 0 sao cho  g ' x 0 = 0

Vậy m a x - 1 ; 1 g x = g x 0  hay giá trị lớn nhất của P đạt được khi x 0 ∈ - 1 ; 0 .