sử dụng phương pháp quy nạp
*với n=1 thì 2 chia hết cho2
*với n=2 thì 3*4=12 chia hết cho 4
thử đúng đến n=k cần cm n=k+
ta có (k+1)(k+2)(k+3).....(k+k-1)(k+k)chia hết cho 2k
n=k+1 biểu thức có dạng (k+1+1)(k+1+2)....(k+1+k)(k+1+k+1)
=2(k+1)(k+2)(k+3)....(k+k-1)(k+k)(k+k+1)chia hết cho2k*2=2k+1
CMR: \(\forall n\in N\)thì \(\left|\left\{\frac{n}{1}\right\}-\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{3}\right\}-...-\left(-1\right)^n\left\{\frac{n}{n}\right\}\right|< \sqrt{2n}\)
Bài 1: Cho \(x_n=-\frac{2655}{2}.\left(-1\right)^n+\frac{1349}{10}.5^n-1995\)
CMR: \(x_{2016}⋮2017\)
Bài 2: Cm: \(2^{n-1}\left(x^n+y^n\right)\ge\left(x+y\right)^n,\forall n\in N^{\cdot}\)
1, CMR nếu a, b, c là các số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau thì \(\left(ab+bc+ca,abc\right)=1\)
2, CMR \(\forall n\in N\)* thì \(\dfrac{\left(17+12\sqrt{2}\right)^n-\left(17-12\sqrt{2}\right)^n}{4\sqrt{2}}\)
3, Tìm x,y∈Z:\(x^3-y^3=13\left(x^2+y^2\right)\)
CMR
\(\left(1+\frac{1}{m}\right)^m< \left(1+\frac{1}{n}\right)^n< \left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}< \left(1-\frac{1}{m}\right)^{-m}\)
\(\forall\:1\le m< n\:\in N\)
cho f(n)=(n2 + n +1 )2 +1 với n thuộc N* . Đặt \(p_n=\frac{f_{\left(1\right)}\cdot f_{\left(3\right)}\cdot f_{\left(5\right)}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot f_{\left(2n-1\right)}}{f_{\left(2\right)}\cdot f_{\left(4\right)}\cdot f_{\left(6\right)}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot f_{\left(2n\right)}}\)
chứng minh rằng : P1 + P2 +P3 +................+ Pn <1/2
Chứng minh: \(n\left(n+2\right)\left(25n^2-1\right)⋮24\forall n\in N.\)
Chứng minh: \(n\left(n+2\right)\left(25^2-1\right)⋮24\forall n\in N\)
Chứng minh \(\forall n\in Z\)
\(A\left(n\right)=n\left(n^3+1\right)\left(n^2+4\right)⋮5\)
a, Cm công thức
\(\forall n\ge1\) ta có \(\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
b, áp dụng tính
\(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{4023\cdot\left(\sqrt{2011}+\sqrt{2012}\right)}< \frac{2011}{2013}\)
