\(a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\right)^2=\frac{1}{8}\left(a+b\right)^4\ge\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Cho các số thực a,b,c\(\ge\)1.CMR
\(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+3\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\)
Cho a, b dương. CMR:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
cmr nếu a+b=1 thì \(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{8}\)
a, Cho a,b>0 , CMR: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
b. Cho a,b,c,d > 0. CMR: \(\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\ge0\)
Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn \(abc\ge1\)
CMR: \(\left(a+\dfrac{1}{a+1}\right)\left(b+\dfrac{1}{b+1}\right)\left(c+\dfrac{1}{c+1}\right)\ge\dfrac{27}{8}\)
Cho2 số dương a, b thỏa mãn: a+b = 1. CMR: \(a^3+b^3\ge\frac{1}{4}\)
Cho a,b>0 thoả mãn a+b=1
CMR: \(\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{25}{4}\)
Bài 1: Cho a,b,c∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
b) \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\) ; với a,b ≥ 0
c) a4+b4 ≥ a3b + ab3
d) a4+3 ≥ 4a
e) a3+b3+c3 ≥ 3abc ; với a,b,c > 0
f) \(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\) ; với a,b ≠ 0
g) \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\) ; với ab ≥ 1
h) (a5+b5)(a+b) ≥ (a4+b4)(a2+b2) ; với ab > 0
Cho a,b > 0. Cmr :
a) \(\left(1+\frac{a}{b}\right)^5+\left(1+\frac{b}{a}\right)^5\ge64\)
b) \(\frac{1}{1+3ab+a^2}+\frac{1}{1+3ab+b^2}\ge1\) với a + b = 1.
