Question

CMR3^(3n+3)-26n-27 chia hết cho 169

Answer 1

Tham khảo

Đặt A (n) = 3³ⁿ⁺³ - 26n  - 27

A(1) = 676 chia hết cho 169 

Giả sử A(n) chia hết cho 169 . Ta cần chứng minh A (n +1) chia hết cho 169

Xét hiệu A(n +1) - A (n) = 3³ⁿ⁺⁶ - 26(n +1) - 27 - 3³ⁿ⁺³ + 26n + 27 = 3³ⁿ⁺³. (3³ - 1) - 26 = 26. (3³ⁿ⁺³ - 1) 

Đặt B (n) = 3³ⁿ⁺³ - 1. Ta chứng minh B(n) chia hết cho 13

Có B(1) chia hết cho 13

Giả sử B(n) chia hết cho 13

Xét hiệu B(n+1) - B(n) = 3³ⁿ⁺⁶ - 1 - 3³ⁿ⁺³ + 1 = 3³ⁿ⁺³. (3³ - 1) = 26.3³ⁿ⁺³ chia hết cho 13 (do 26 chia hết cho 13)

⇒ B (n + 1) chia hết 13

Vậy B(n) chia hết cho 13

⇒ A(n +1) - A (n) = 2.13.13. k = 169.k 

⇒ A(n +1) - A (n)  chia hết cho 169 mà A (n)  chia hết cho 169

⇒ A (n+1) chia hết cho 169 (đpcm)