Question

CMR |x|+|y| lớn hơn hoặc bằng |x+y|

          |x|-|y| nhỏ hơn hoặc bằng |x-y|

Answer 1

a/ Giả sử: |x| + |y| < |x + y|  => ( |x| + |y| )²  <  ( |x +  y|²)  => x² + 2 . |x| . |y| + y²  < x² + 2xy + y²   =>  |x| . |y|  < xy (Vô lý)

=> |x| + |y|  \(\ge\) |x + y|

b/ Giả sử: |x| - |y| > |x - y|  => ( |x| - |y| )²  > ( |x -  y|²)  => x² - 2 . |x| . |y| + y²  < x² - 2xy + y²   => - |x| . |y|  > -xy (Vô lý)

=> |x| - |y|  \(\le\) |x - y|

Answer 2

Cách 2: 

a/ Giả sử: |x| + |y|\(\ge\)|x + y|  => ( |x| + |y| )² \(\ge\) ( |x +  y|²)  => x² + 2 . |x| . |y| + y² \(\ge\) x² + 2xy + y²   =>  |x| . |y|   \(\ge\) xy (Bất đẳng thức đúng)

Vậy |x| + |y|  \(\ge\) |x + y|

b/ Giả sử: |x| - |y|  \(\le\)|x - y|  => ( |x| - |y| )² \(\le\)( |x -  y|²)  => x² - 2 . |x| . |y| + y²  \(\le\)x² - 2xy + y²   => - |x| . |y|    \(\le\)  -xy (Bất đẳng thức đúng)

Vậy |x| - |y|  \(\le\) |x - y|