Ta có: p4-1=(p2)2-1=(p2-1).(p2+1)=(p-1).(p+1).(p2+1)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5
=>p lẻ
=>p-1 và p+2 là 2 số chẵn liên tiếp
=>(p-1).(p+1) chia hết cho 8
Vì p lẻ=>p2 lẻ=>p2+1 chẵn=>p2+1 chia hết cho 2
=>(p-1).(p+1).(p2+1) chia hết cho 16
=>p4-1 chia hết cho 16(1)
Lại có: p là số nguyên tố lớn hơn 5
=>p không chia hết cho 3
=>p4 chia 3 dư 1
=>p2-1 chia hết cho 3(2)
Mặt khác: p là số nguyên tố lớn hơn 5
=>p có 4 dạng 5k+1,5k+1,5k+3,5k+4
-Với p=5k+1=>p-1 chia hết cho 5=>(p-1).(p+1).(p2)-1 chia hết cho 5
=>p4-1 chia hết cho 5
-Với p=5k+2=>p2+1=(5k+2)2-1=(5k)2+2.2.5k+22+1=5.5.k2+5.4.k+5 chia hết cho 5
=>(p-1).(p+1).(p2)-1 chia hết cho 5
=>p4-1 chia hết cho 5
-Với p=5k+3=>p2-1=(5k+3)2-1=(5k)2+2.3.5k+32+1=5.5.k2+5.6.k+10 chia hết cho 5
=>(p-1).(p+1).(p2)-1 chia hết cho 5
=>p4-1 chia hết cho 5
-Với p=5k+4=>p+1 chia hết cho 5=>(p-1).(p+1).(p2)-1 chia hết cho 5
=>p4-1 chia hết cho 5
=>p4-1 chia hết cho 5(3)
Tư (1),(2) và (3) ta thấy:
p4-1 chia hết cho 16,3,5
mà (16,3,5)=1
=>p4-1 chia hết cho 16.3.5
=>p4-1 chia hết cho 240
=>ĐPCM
