Đặt \(\left(n+2021\right)=p\)
Đặt \(p^2+2022=k^2\)
\(\Rightarrow k^2-p^2=2022\)
\(\Rightarrow\left(k-p\right)\left(k+p\right)=2022\)
Đặt \(a=k-p;b=k+p\)
\(\Rightarrow a.b=2022\) (1) là 1 số chẵn => trong 2 số a; b phải có ít nhất 1 số chẵn (2)
Ta có \(a+b=k-p+k+p=2k\) là 1 số chẵn => a; b phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ (3)
Từ (2) và (3) => a; b phải cùng chẵn
Đặt \(a=2m;b=2q\left(m;q\in Z\right)\)
Từ (1) \(\Rightarrow a.b=2m.2q=2022\Rightarrow4mq=2022\Rightarrow m.q=\frac{2022}{4}\)
Vì n là số nguyên => n+2021=p là số nguyên => k là số nguyên => a; b là số nguyên => m;q là số nguyên => m.q là số nguyên
Mà 2022 không chia hết cho 4 => m.q không nguyên mâu thuẫn với m.q là số nguyên
Nên không tồn tại số tự nhiên m để \(\left(n+2021\right)^2+2022\) là số chính phương
Hay \(\left(n+2021\right)^2+2022\) không là số chính phương \(\forall n\)
